从一道高考题谈培养学生的综合能力

贵州省开阳县职业高级中学 张廷均

1995年全国高考数学试题理工科第（22）题是：求sin² 20° + cos² 50°

+sin20°cos50°，这是一道三角题函数的和差化积和积化和差的综合求值题，它在现行高中必修教材中有明显的背景，是由代数教材上册第 193 页例4，“求sin²10°＋cos² 40°＋sin10°cos40°的值”改变角度而得到的。这类问题不仅是高考的热点问题，而且也是数学竞赛中的热点问题。近年来的高考题和数学竞赛题中也有它的影子，例如：

求cos² 73°＋cos² 47°＋cos47°cos73°的值（1987年江苏青少年

数学夏令营）

求cos²10°＋cos² 50° - sin40°sin80°（1991年全国高中数学联赛题

二（1））

求sin ² 20°＋cos²80° + 3sin20°cos80°（1992年全国高考数学文科第

24 题）

这些题形式都一样，只是将其中的某些数据改变一两个或者变成余函数得到的，这充分说明在高考和竞赛中对三角函数的和差化积与积化和差的这类问题有较高要求，属于重要知识点。现就 1995 年的那道题为例谈谈学生综合能力的培养。

分析一：从题设先考虑降幂，后利用和积互化，即可产生特殊角的三角函数值或正负相消的项。

解法一：原式 = 1 （1 - cos40°） + 1 （1 + cos100°） + 1 （sin70° - sin30°）

2 2 2

= 3 + 1 （cos100° - cos40° + sin70°）

4 2

= 3

4

分析二：考虑平方关系，将其转化成平方差公式进行因式分解，最后和积互化可得。

解法二：原式 = 1 - cos² 20° + cos² 50° + sin² 20°cos² 50°

= 1 + （cos²50° + cos² 20°）（cos²50°

• cos² 20°）

+ sin20°cos50°

= 1 + 2cos35°cos15°（1 - 2sin35°sin15°）

= 1 - 4sin35°cos35°sin15°cos15°

+ 1 sin70

2

° - 1

4

= 1 - sin70°sin30°

= 3

4

+ 1 sin70

2

° - 1

4

分析三：为了消去二次幂，利用平方关系配对（即构对偶式）

解法三：设a = sin² 20° + cos² 50° + sin20°cos50° b = cos² 20° + sin²50° + cos20°sin50°

∴a + b = 2 + sin70°，a - b = -sin70° - 1

2

∴2a = 2 - 1

2

即a = 3

4

分析四：由题设自然会联想将其配方，再进行化简。

解法四：原式 = （sin20° + cos50°） ² - cos20°cos50°

= （sin20° + sin40°） ² - 1 （sin70° - sin30°）

2

= 1 （1 + cos20°） - 2

1 sin70

2

° + 1

4

= 1 +

2

= 3

4

1 sin70° -

2

1 sin70° + 1

2 4

分析五：用提取公因式的方法，进行变换。

解法五：原式 = sin20°（sin20° + cos50°） + cos²50°

= sin20°（sin20° + sin40°） + 1 + cos100°

2

= 2sin20°sin30°cos10° + 1

2

= 1 （sin30° + sin10°） + 1 2 2

= 3

4

分析六：利用二元代换法，即

- 1 sin10°

2

- 1 sin10°

2

解法六：a＋b=sin20°，a-b=cos50°，则

a = 1 （sin20° + cos50°） 2

= 1 cos10°

2

b = 1 （sin20° - cos50°） = - 3 sin10°

2 2

原式 = （a＋b）² + （a - b） ²＋（a - b）（a - b）

＝3a ²＋b ² = 3

4

分析七：认真分析题设，不难发现，原式a³ - b³ = （a -

1. （a² ＋b²＋ab）中（a ²＋b ²＋ab）是如此

的相似，因此得下面的解法

sin³ 20° - cos³50°

解法七：原式 = sin20° - cos50° ，再联想到正余弦的三倍角公式：

sin³ 20° - cos³50° = 1 （3sin30° - sin60°） 4

- 1 （3cos50° - cos30°） 4

= 3 （sin20° - cos50°） - 1 （sin60° - cos30°）

4 4

= 3 （sin20° - cos50°） 4

故原式 = 3

4

分析八：利用三角恒等式sin（α + β） sin（α - β） = sin²α - sin² β， 可得

解法八：原式 = 1 + （sin ² 20° - sin² 50°） + sin20°cos50°

= 1 + sin70°sin（ - 30°） + 1 （sin70° - sin30°）

2

= 1 -

= 3

4

1 sin70° +

2

1 sin70° - 1

2 4

分析九：由题设特征，即两项平方和，两项积，因此形式类似于余弦定理，故考虑正、余弦定理合用

解法九，特将原式化为：

sin² 20° + sin² 40° - 2sin20°sin40°cos120°，可构造三角形ABC，

使∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，则由正、余弦定理得

原式 = sin² 20° + sin² 40° - 2sin20°sin40°cos120°

= 1

4R ²

c 2

= 4R ²

（a ² + b² - 2abcoxC）

= sin ²C = 3

4

分析十，由分析八知，能用余弦定理解答本题，自然联想到，能对它进行几何解释，所以可以考虑构造符合条件的三角形进行解答。

解法十，如图 1，以 AB=1 为直径作图，并作∠CAB=20°，∠DAB=40°， 连结 BC、BD 和 CD，易知∠CAD=60°，∠CBD＝120°，BC=sin20°，BD＝sin40

°

对三角形 BCD，由余弦定理，得

CD² = sin² 20° + sin² 40° - 2sin² 20°sin40°cos²120°

= sin² 20° + cos² 50° + sin20°cos50°

= 原式

但对△ACD用余弦定理，则有CD² = sin² 60° = 3 ，故原式 = 3

4 4

分析十一，根据分析九，能用正弦定理解的问题，也可用三角形面积， 故可构造三角形。

解法十一：

作△ABC，使∠B=20°，∠C=40°，记 BC=a，AC=b，AB=c，高 AD=h△ABC 的面积为 S，由三角形的面积公式有

1 1 3

S = 2 bcsin∠BAC = 2 bcsin120° = 4 bc。又由余弦定理有

a ² = b² + c² - 2abcos120° = b² + c² + bc

h2 h2 h2 h 2

故原式 =

+ + =



（b ² + c² + bc）

c 2 b2

bc b ²c ²

= h2 a2 =

（2S） ² = 3

b2 c2

（ 4 S）² 4

3

以上解法三至八虽然不如解法二自然，但对于巩固知识，活用过去所学的知识都不失为一种好方法，有的解法均比解法一简捷，且方法灵活，构思巧妙；解法九至十一，用几何方法解决三角函数的求值问题，突破常规，富有创造性。

3

奇怪的是，上述课本例题、高考题、竞赛题的答案都是 4 ，这是为什么

呢？不难发现它们的正弦和余弦角度之差都是 30°，能否将此类问题写成一

般形式呢？即对任意角α，求， sin² α + cos² （α + π ） + sin cos （α + π ），

6 6

3

其答案也是 4 呢？不妨解之。

1 + cos （2α + π ）

原式 = 1- cos2α + 3 + 1 

 α + π  − sin π 

2 2 2 sin 2 6  6 

   

= 1 + 1 cos2α + π  − cos 2α



 

+ 1 



 

π  1

sin 2α +



3 1

 −



 π 

π 1  π 

= 4 + 2 （ − 2） sin2α +

 sin

 6

+ sin2α + 

 

= 3

4

因此，对任意角α有： sin² α + cos²  α + π + sin α cos

 

 

α + π = 3

 

 

根据α的任意性，可构造一系列的类似题目来。

从以上高考题的解法分析中，我们体会到对同一问题，若能从不同的角度去观察、思考、分析，得出的解法也不一样，特别是高考前的复习课，采用多种方法对一问题进行研究、推广，可以把一些零碎的知识有机结合起来， 达到复习巩固的目的，同时也培养了学生分析问题，综合运用知识的能力以及发散思维的能力。