三、数形结合，简缩思维

唯物论认为：数与形不是孤立的，而是紧密联系着的。一般说来，数是形的抽象，形是数的表现。因此，通过形的观察，进行异中求同和寻找彼此之间的联系，再借助数的概念进一步揭示形的本质特征和内在联系。所以数形结合往往能迅速、合理、全面地思考问题和解决问题。

如图，已知正方形的一边长为 6，求其中阴影的面积：观察力弱的同学思维失误或找不到突破口，多数同学按一般思考方法进行观察：（1）计

算一叶的面积×4，即[3.14×（6÷2） ²× 1 - （6÷2）² × 1]×

4 2

4；（2）（S半圆 - S△ ）

×4．即[3.14×（6÷2）² × 1 - 6×（6÷2）² × 1]×4．再引导学

2 2

生对该图进行分解、组合，细致地观察，从而抓住事物内在联系。其本质特征：（1）阴影是四个半圆放入正方形的重叠部分。（2）半圆直径是正方 形的边长，从这一点借助于数的概念，得到它们之间的联系是：S 半圆是 S

的π 。通过这样的启发、诱导，学生顿悟以简代繁，得到较简捷的

正方形 8

解法：6² ×（ π ×4 - 1）。还可引导学生观察阴影与空隙间的关系，通过8

周密地观察分析发现：正方形的面积减两个半圆的面积等于两个空隙的面

积，所以阴影部分的面积 = 6² - [6² -

这样得到更简捷的解法。

6

π（ 2 ）

2 ]×2 = （ π - 1）×6² 。

2

综上，从形的分镜头——分解与组合，探索图形的特点，辅以数量间的关系，来进一步揭示图形的内在联系，本质特点，从而优化了思维过程，提高了解题能力。

加里宁说：“数学是思维的体操。”教学中，如何使学生做好这套“操”， 更好地揭示数学教学与思维能力的培养规律，是我们数学教师所追求的教学目标。