一、运用函数思想求解方程问题

例1 求证不论a取什么实数，方程x² - （a ² + a）x＋a - 2 = 0必有两个

不相等的实根。

析解：此题若用常规解法，求出判别式Δ是一个关于 a 的一元四次多项式，符号不宜判断。若用函数思想去分

析题意，设f（x） = x² - （a² ＋a）x＋a - 2 = 0，要证明命题成立，只需证明 y=f（x）的图象与 x 轴有两个交点，由于它的开口向上，只要找到一个实数x0 ，使得f（x0 ）＜0。故y = f（x）的图象与x轴有两个交点，

因此命题成立。

例2（1993年高考试题）已知关于x的实系数二次方程x ²＋ax＋

b=0 有两个实数根α，β。证明：

（Ⅰ）如果｜a｜＜2、｜β｜＜2，那么，2｜a｜＜4＋b 且｜b｜＜4；

（Ⅱ）如果 2｜a｜＜4＋b 且｜b｜＜4，那么｜a｜＜2、｜β｜＜2。

分析：本题表面上看是方程问题，方程的根的分布与参数 a、b 满足关系， 如果用纯方程理论处理则十分烦琐，如果用函数思想来分析，将方程根的分布问题转化为函数图像与 x 轴交点问题，则可抓住其本质。

略解：（Ⅰ）（Ⅱ）的综合结果就是“2｜α｜＜4＋b 且｜b｜＜4”与“α，β∈（-2，2）”等价。

由此可设 y = f（x） = x²＋ax＋b = 0，则只需作如下推理：

2｜a｜＜4＋b

α、β∈（ - 2，2） 。

｜b｜＜4

f（2）＞0

（1）由图像可知α，β∈（ - 2，2） ⇒ f（ - 2）＞0 ⇒

｜b｜＝｜α·β｜＜4

2｜a｜＜4＋b

（2）如果

｜b｜＜4

⇒ 4＋2a＋b＞0 ⇒



f（2）＞0

f（ - 2）＞0 则

α、β在（-2，2）之内或（-2，2）之外，若α、β在（-2，2）之外，则｜ α·β｜=｜b｜＞4，这与｜b｜＜4 矛盾，故α、β∈（-2，2）。

二、运用函数思想求解不等式问题

例3 m∈R， - 2 ^m ≤x＜0，若不等式x² - 6≤x·2^m+1 恒成立，

求 m 的最大值。

分析：对于不等式问题，其本质仍是函数问题，用函数观点求解，使问题变得简单明了。

解：原不等式变形为x² - 2^m+1 ·x - 6≤0，当 - 2^m ≤x＜0时恒成

立。即函数f（x） = x² - 2 ^m+1 ·x - 6当- 2^m ≤x＜0时，图像不在x轴

f（ - 2^m ）≤0 上方。作其图如下，由图可知f（0）≤0

⇒ 22m＋22m + 1- 6≤0



⇒ m≤ 1

2

∴m 1

的最大值为 2 。