三、运用函数思想解数列问题

例 4（1992 年高考题）设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，已知 a3=12， S12＞0，S13＜0，①求公差 d 的取值范围；②指出 S1，S2，⋯，S12 中哪个值最大，并说明理由。

分析：由题第①问考生没有多大困难，第②问不少考生未能完成，这不仅是运算能力不过关，更主要的是不能自觉地用函数思想分析数列问题，如果能运用二次函数的图像来分析等差数列的前 n 项和，这可将繁杂的运算化为乌有。

解：①略。 − 24 ＜d＜ − 3。

7

②∵Sn = na1

+ n（n − 1） d 2

= d n² + （a 2 1

• d ）n且d＜0，故得到开口向下的抛物线。

2

如图所示，S12＞0，S13＜0 图像必在 n=12 与 n=13 之间通过 n 轴，其对称轴 x=n。满足 6＜n0＜6.5，故 S6 最大。

通过上述例题分析，我们可以清楚地看到，用函数的思想研究问题，借助函数图像的直观性，给问题的解决带来了方便，运用了函数思想分析代数中的方程、不等式、数列等问题，能深刻地挖掘问题的内涵，化难为易，提高了分析问题的能力。

解题方法受一定的数学思想的支配，数学思想较之数学解题方法，则属更高层次的范畴，它对于数学能力的形成具有很强的支配地位和指导作用。然而，数学思想的教学是一个长期的潜移默化的过程，学生要在一段漫长的“三基”学习和解题实践中，经过反复理解和应用，才能逐步形成并牢固地树立起来。本来基本数学思想和方法是充满整个数学知识和学习过程的，但在总复习中，通过筛选若干典型范例，以明析的数学思想和方法为指导加以剖析，对于数学思想方法的强化，对摆脱题海的束缚都是十分有益的。

下面再举两例，以示说明。

例 5 求点 P（a，b）关于直线 l：y=x+1 的对称点 Q 的坐标。

分析：依照求对称点的方法，列出关于 x0、y0 的方程组解之，求得 Q（b-1， a+1）。在以函数思想为指导，通过移轴运用互为反函数关系求解，则有：将 y 轴左移一个单位，则 y=x＋1 的新方程为 y'=x'，点 p（a，b）的坐标为（a

＋1，b），它在新系下关于 y'=x'的对称点为 Q（b，a＋1），故 Q 的原坐标为（b-1，a+1）。这里法 2 是抓住问题的特殊性，运用函数思想，使解题变得直观而简洁。

例6 若不等式

x＞ax + 3 的解为4＜x＜c，则a = 2

，c = 。

析解：此题若从解不等式入手，似乎难以找到突破口，若用函数思想，

作函数y = x和y = ax + 3 的图像，易知a＞0。且x = 4与x = c恰为二次函数图象

1 2 2

交点的横坐标，只需将x = 4与x = c分别代入方程 = ax + 3 即得a、c值为a = 1 ，

2 8

c = 36。

此解多么简洁明了，它为解无理不等式开辟了一条新路。