三、暴露知识发生过程，培养思维能力

数学知识是前人通过辛勤的智力劳动所获取的，它的获取过程，它的获得过程，蕴含着培养智力的因素，因此教学中暴露知识的发生过程和学生的学习过程，就可以培养学生的思维能力。

暴露知识的发现过程

例如，左数列前几项和公式的推导

课本上说：“为了求图 6—1 所示的钢管的总数，我们可以设想如图 6—

4 那样，在这堆钢管的旁边倒放着同样的一堆钢管⋯⋯”

这样设想不但是可以的，而且是科学的，问题的关键在于这个设想是如何想出来的？如果课本上没有给出这个设想，我们是否可以作出这种设想？在课堂上提出以上问题，学生思维活跃，激起了创造性的火花，接着又提出如下问题：

等差数列有哪些性质？
观察图 6—1 象什么图形？
梯形的面积公式是什么？是如何推导的？你能得到什么启示？

就等差数列前几项和公式本身来说并不难，然而公式推导过程中优美的动机和想法却给人以启迪，为求一般等差数列前几项的和，先图 6—1 所示的钢管数，这里却运用了一般与特殊的转化思想，又用了数形结合思想，通过图形倒放给反序相加法以直观表示，然后用这种方法求一般等差数列前几项的和。通过展示公式的推导过程，使学生知道知识的来龙去脉，知其然，更知其所以然，较好地掌握了知识。

暴露问题的探索过程

教学中反映科学的思维过程，将使学生更为主动地思考，得到更加透彻的认识，例如在一堂练习课上，鼓励学生对下题作多种解法。

已知：a、b、c、d 成等比数列，求证 a＋b，b＋c，c＋d 成等比数列（高中代数下册 P128·7）

多数同学的解法与人教出版的教参给出的证明相同，即

已知a，b，c，d成等比数列，设公比是q，则：b = aq，c＝aq² ，d＝aq³

∵a＋b=a（1＋q），b＋c=a（1＋q）q，

c＋d = a（1＋q）q ² ①

∴ b + c = q = c + d ②

a + b b + c

即 a＋b，b＋c，c＋d 成等比数列

有几位同学把 b，c，d 分别用其前一项与公比之积表示出来，证明显得较为简捷。

有个同学说我还有更简捷的证法，就是举例说明！

证明命题成立如何举例说明呢？同学们感到惊讶，这时我鼓励他把自己的证法写出：

若 a，b，c，d 分别为-1，1，-1，1，那么 a＋b，b＋c，c＋d 均为零，不成等比数列，与求证的结论矛盾，因此题目有问题！

同学们还能举出其他例子说明命题不真吗？在上面例子的启发下，同学们又举出不少例子。

检查一下自己前面的证明，问题出在何处？我们对这个习题应作如何修改？

有的同学提出，把题设条件加上公比 q≠-1，有的同学把题目改为发散型：

已知 a，b，c，d 成等比数列，试问 a+b，b+c，c+d 是等差数列，还是等比数列？

（当公比 q=1 时，既是等差数列，又是等比数列；当公比 q=-1 时，成等差数列；当公比 q≠±1 时，成等比数列。）

教学中，暴露知识的发生过程，有利于培养学生类比、归纳、猜想和探索的能力，进而达到培养创造能力的目的。