四、利用构造函数求某些条件的最值

例9 已知m≥1，n≥1，且满足log ²m + log² n = log （am²）＋log

a a a a

（an²）（a＞1）求log （m·n）的最值

简析：首先换元令x = log a m，y＝loga n

∵a＞1，m≥1，n≥1，∴x，y≥0，由题设得（x

• 1） ²＋（y - 1）² = 4（x， y≥0）

设λ = loga （mn） = log a m＋loga n则构造一次函数y = -x + λ

即求直线y = -x + λ与曲线（x - 1） ²＋（y - 1） ² = 4有公共点时的λ的最值，作y = -x + λ与（x - 1） ²＋（y - 1） ²＝4的图像

不难看出：（1）当直线和圆相切时λ最大，易计算

λ max = 2 2＋2

（2）∵x，y≥0，∴当圆与y轴相交时直线过点（0， + 1）时λ

最小，∴λ min = + 1

通过以上对构造法典型例题的分析，可以看出，构造法确实是一种解题的好途径，当定向思考常规方法解题繁冗时，本着“纵向深入，横向联系” 的原则合理构造数学模型，利用图形或图象，通过数形结合，以形辅数，简单明了，直观地解证有关问题，启发了学生的思维，开拓了解题的途径，同时也提高了学生分析与解决问题能力，起到了出奇制胜，事半功倍的效果。