一、构造法在解证不等式中的应用

1. 构造几何模型法

例1 求证不等式 + x² + y² ≥

2 2

分析：观察题设特征，启发学生“横向联系”。不难看出不等式的两边都是一种距离形式，左边看作原点（0，0）到点（x1，y1）的距离之和，右边是点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离，由三角形两边之和不小于第三边，不

难证得。

略证：在直角坐标系中：设 A（x1，y1），B（x2，y2）

则：｜OA｜ = x¹ + y¹ ，

2 2

｜OB｜ =

｜AB｜＝2

∵｜OA｜ + ｜OB｜≥｜AB｜

∴ + x² + y² ≥

2 2

显然，当 A、B、C 三点共线且 A，B 在 O 点异侧时取“=”号。例 2 若 a，b，c，x，y∈R+且 a+x=b+y=c+z=k

求证：ay + bz + cx＜k ²

分析：构造法的难点在于合理构造一个图形，要解决这个难点就要“纵向深入”分析题设结构，“横向联系”联想几何图形。本题由 a+x=b+y=c+z=k 联系三角形 AB=BC=CA=K，如图所示：略证：

在边长为 K 的的等边三角形 ABC 中令 AB=a＋x，AB=y＋b，CA=z

＋c．则S△ABC =

3 k ²，S =

4 1

3 ay，S =

4 2

3 bz，S = 3

4 ³ 4

由S ＋S ＋S ＜S 易得：ay＋bz＋cx＜k²

小结：类似这些不等式的证明，用常规的、定向思考的方法不易证明， 或能证但很繁冗，特别是一些证明不等式中含有绝对值号或根号的，可以改变一下思维方向，构造一个几何模型来解证。下面再举例先由学生思考分析， 最后归纳解法。

例 3 证明不等式，若 x，y，z∈R+，求证：

分析：纵向观察不等式两边都有根号且有交叉项。横向联系到①三角形两边之和大于第三边，②斜三角形中余弦定理中的距离公式，且夹解为 120

°，不妨构造如图三角形 ABC

略证：在△ABC 中，由余弦定理可知：

|BC|=

同理可得：|AC|=