四、试用习题结论,挖掘深刻价值
教材上有些习题,貌似平常,实际上内涵特别丰富,有着不寻常的功能和再应用价值。如果能教学生注意应用这些习题的结论,回过头去解之前或之后的习题,不但解法别开生面,而且使所学知识融汇贯通。
例4 《立几》(必修)P117 3题:如图,AB和平面α所成的角是θ1 ,
AC在平面α内,AX和AB的射影AB' 成角θ2 ,设∠BAC = θ,求证:
cosθ = cosθ1 ·cosθ 2 。
学生证明此结论不成问题,但学生如能灵活应用解有关余弦值问题可得意想不到的简便。
如:在棱长都相等的四面体 A—BCD 中,E、F 分别是棱 AD、BC 的中点, 连结 AF、CE,如图,求异面直线 AF、CE 所成角的大小(88 年上海高考题)。
解:设异面直线 AF、CE 所成的角为α,连结 BE、EF.∵ 四面体为正四面体,E、F 为中点,∵AE⊥EC, AE⊥BE,∴AE⊥平面 BCE,
- a
∴AF在平面BCE上的射影是EF,cos∠AFE = 2 =
- a
2
,cos∠FEC =
∴cosα = cos∠AFE·cos∠FEC =
- 2 = 2 。
3 3
∴异面直线AR、CE所成角为arccos 2 。
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