第二节 计数资料的统计推断一、率的抽样误差与标准误

本节和下节介绍计数资料的统计推断。本节介绍最简单的计数资料是分

成两类，计数资料原分成多类但只研究其中特定的一类也可简化为两类—— 某类和非某类。

两类构成总体为：总个体数为 N，某类个体数为 M，非某类个体数为 N-M。只有一个总体参数，据其实际含义称为某类的总体率或总体构成比，用π表示，即π=M/N。

率（或构成比）的抽样误差与标准误和均数的抽样误差与标准误其概念相同。从总体率为π的两类构成总体中随机抽取含量 n 的样本，抽得某类个体数 X（非某类个体数 n-X），算出样本率 p=X/n。由抽样造成的样本率和总体率的差别称为率的抽样误差。所有可能的含量 n 的样本率构成变量为 p 的总体。样本率总体中 p 值的差别是由抽样误差造成的。总体率π为定值，分析样本率 p 的分布情况就可得出抽样误差 p-π的分布情况。数理统计学中证明，含量 n 的样本率 p 的总体均数为π，标准差为

σp = （8·8）

率的标准差又称为率的标准误。率的标准误是描述率的抽样误差的统计指标（变异指标），率的标准误越大，则率的抽样误差越大（更确切地说， 是抽样误差的波动程度越大）。

由（8·8）式可见，率的标准误σp 的大小决定于总体率π和样本含量 n， n 越大，σp 越小。从同一总体中抽样，总体率为定值，因此要减小率的标准误，降低抽样误差，只有加大样本含量。

总体率π一般是未知的，若用样本率 p 估计，则据（8·8）式，σp 的样

本估计值为

sp =

（8·9）

例 8·3 在某镇按人口的 1/20 随机抽取 329 人，作血清登革热血凝抑制抗体反应检验，发现阳性者 29 人，求阳性率及其标准误。

p = 29

329

= 0.0881 = 8.81%

sp =

0.0881(1− 0.0881) = 0.0156 = 1.56%

329

该镇 329 人血清登革热血凝抑制抗体反应检验的阳性率为 8.81%，标准误为 1.56%。

关于样本率 p 的总体分布，作说明如下：两类构成总体某类率为π，非某类率为 1-π。从总体中抽取含量 n 的样本，抽得某类个体数 X 和某类率 p 是不连续的，其取值可能情况为 X=0，1，2，⋯，n，即 p=0/n，1/n，2/n，⋯， n/n。由于抽得某类个体的概率为π，抽得非某类个体的概率为 1-π，数理统计学中证明，p（或 X）为上述各种取值的概率等于二项式〔（1-π）+π〕 n。展开后的各项，故 p（或 X）服从二项分布。二项分布是不连续的概率分布，有 2 个参数：原总体率π和样本含量 n。π=0.5，二项分布对称；π≠ 0.5，二项分布不对称。π和 0.5 相差越大，二项分布越不对称，特别当 n 小时更是如此。实际验证发现，当 n 足够大，π和 1-π均不太小，有 nπ≥5 和 n（1-π）≥5 时，二项分布近似正态分布。因此当π＜0.5 时，总体率π

越小，需要的样本含量 n 越大 p 分布才近似正态分布，例如π=0.2，0.1，0.05，则需要的样本含量至少为 n=25，50，100。