第二节 直线相关一、相关系数

直线相关适用于服从双变量正态分布的双随机变量。直线相关研究两个变量 X 和 Y 的互依关系，即 X 和 Y 协同变化的数量关系。

直线相关系数简称相关系数（correlation coefficient），用以描述两个变量直线相关的方向与紧密程度。总体相关系数用ρ表示，样本相关系数用 r 表示。由样本 n 对变量值（X1，Y1），（X2，Y2），⋯，（Xn，Yn）求 r 的公式为

r = =

∑ XY − (∑X)(∑Y) / n

[∑X 2 − (∑X) 2 / n][∑Y2 − (∑Y) 2 / n]

（10·8）

相关系数没有单位，其取值范围为：-1≤r（或ρ）≤1。

相关系数 r 的意义可用图 10－2 说明。若散点图呈椭圆形分布，X 和 Y 有同时增大或减小的趋势，则 0＜r＜1，称为正相关；若 X 和 Y 有一个增大、另一个减小的趋势，则-1＜r＜0，称为负相关。 r=1 为完全正相关； r=-1 为完全负相关。完全相关散点都在一条直线上，即 X 和 Y 有确定函数关系。两个随机变量不可能完全相关。r=0，称为零相关。零相关表示 X 和 Y 没有协同变化的数量关系，如图中所示常见的 3 种零相关情况。因此零相关实际可认为是无相关。注意的是：r 是就双变量（X，Y）的样本而言，就总体而言应该用ρ。

图 10－2 相关系数的意义示意图

例 10·3 求例 10·1 中某地 10 名女中学生体重和肺活量的相关系数。据表 10－1 有

r = 0.6945

该地 10 名女中学生体重和肺活量的相关系数为 0.6945。