二、总体回归系数的假设检验

总体μY.X（X 值处 Y 的总体均数）对 X 的直线回归方程的回归系数用β 表示。若β=0，则各 X 值处μY.X 相等，Y 的变化不依赖 X，即总体不存在μ

_Y.X 对 X 的直线回归方程及相应回归直线；只有β≠0 时总体才存在μY.X 对 X 的回归直线。因此推断总体是否存在μY.X 对 X 的回归直线，即推断总体回归系数β是否等于零。样本回归系数 b 为总体回归系数β的点估计，样本直线回归方程为总体直线回归方程的估计。显然只有β≠0，所拟合的样本直线回归方程及绘制样本回归直线才有意义。

总体回归系数的假设检验的检验假设（或无效假设）H0 为β=0；备择假

设 H1 一般用双侧β≠0。如果H0 成立，则 b 和 0 的差别完全由抽样误差造成。样本检验统计量为 t，称为样本回归系数 b 和总体回归系数 0 比较的 t 检验。计算 t 值的公式为

t = |b − 0| = |b|

v = n − 2 （10·4）

sb sb

式中 sb 为回归系数的标准误，计算公式为：

sb =

SY.X

（10·5）

式中 s Y.X 为 Y 的剩余标准差，是扣除 X 的影响后 Y 的变异指标，计算公式为

sY.X =

（10·6）

式中∑（Y - Y） ²为Y的剩余平方和，即直角坐标图上各散点离回归

直线的纵向距离平方和，计算公式为

)   [∑(X − X)(Y − Y)]2

∑(Y − Y) ² = ∑(Y − Y) ² −

∑(X − X)²

（10·7）

式中∑(Y - Y)² = ∑Y² - (∑Y) ² /n，其他可用求b值的（10·2）式的

分子和分母数据。

例 10·2 据例 10·1 中某地 10 名女中学生的体重与肺活量资料，问是否存在该地女中学生的肺活量对体重的回归直线？即例 10·1 中所拟合的样本直线回归方程是否有意义？

设该地女中学生总体肺活量对体重的回归系数为β，假设为： H0：β=0

H1：β≠0 α=0.05

在例10·1中已算得b = 0.0911，∑(X - X)(Y - Y) = 8.975，∑( X - X)²

=98.5。现据表 10－1 中数据算得

∑(Y − Y) 2 = 55.2875 − 23.15² / 10 = 1.6953

然后算得

∑(Y − Y) ² = 1.6953 − 8.975² / 98.5 = 0.8775

sY.X =

0.8775 = 0.3312

10 − 2

据（10·9）式有

s = 0.3312 = 0.0334

^b 98.5

t = 0.0911 = 2.728

0.0334

ν = 10 − 2 − 8

查 t 界值表得 P＜0.05。按 a=0.05 水准拒绝 H0，接受 H1，认为存在该地女中学生的肺活量对体重的回归直线，因此例 10·1 中所拟合的样本直线回归方程有意义。