二、平均分布

上节（7·14）式曾说明，若 X 服从正态分布 N（μ，σ)，作正态变量 X 的 u 转换 u=（X-μ）/σ，则标准正态变量 u 服从标准正态分布 N（0，1）。现从正态总体 N（μ，σ）抽取含量 n 的样本均数 服从正态分布 N

（μ，σ X ） = N(μ，σ / n)

u = X − μ =

X

（7·17）

如果知道总体标准差，上式的 u 可用作为推断总体均数的样本检验统计量。u 检验就是基于此式。但一般的实际情况是总体标准差σ和总体均数μ 都是未知的，此时不能用 u 来推断总体均数。数理统计学中证明，当总体标准差未知时，可作正态变量 的 t 转换

t = X − μ

X

= X − μ

（7·18）

t 变量为样本检验统计量，用以推断总体均数。

从正态总体N（μ，σ）中随机抽取含量n的样本，算出样本均数X和其标准误sX ，假设总体均数μ已知，则每个样本可按（7·18）式算得1 个 t 值，所有可能的含量 n 的样本 t 值构成 t 变量的总体或 t 分布。

t 分布只有 1 个参数——自由度ν，为计算 t 的标准差的自由度。（7·18）

式 t 的ν=n-1，因为其 s 的ν=n-1。t 分布曲线如图 7-3 所示。横轴为 t 变量，纵轴为 t 的概率密度 f（t）。t 分布曲线的特点是：以 0 为中心，高峰位于 0 处，左右两侧对称；ν越小，t 变量值的离散程度越大，曲线越扁平。t 分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高峰低些，两尾部翘得高些），若ν=

∝，则 t 分布曲线和标准正态曲线完全吻合。

图 7-3t 分布曲线示意图

t 分布曲线下的整个面积为 1，t 分布曲线下 t 从 a 到 b（＞a）的面积为t 值分布在此范围内的百分比，即 t 值落在此范围内的概率 P。对于自由度为ν的 t 分布，如下定义 tα，v 值（取正值），称为自由度为ν、P 为α的 t 界值。

双侧： P（t≤-tα，v）和 P（t≥tα，v）为α，由于 t 分布以 0 为中心对称，即

P（t≤-tα，v）=P（t≥tα，v）=α/2

于是有 P（-tα，v＜t＜tα，v）=1-α

单侧：P（t≤-tα，v）=α或 P（t≥tα，v）=α

由上可知，单侧α和双侧 2α的 t 界值相同，即单侧 tα,v=双侧 t2α,v。如ν=20 时，单侧 t0.05,20=双侧 t0,10,20。

根据 t 分布曲线下的面积计算，由ν值和α值可得出 tα,v 值。表 7-9 是常用的 t 界值表，横标目为自由度ν，纵标目为概率 P（即α）。由表 7-9 可见，对于相同的自由度ν，α值越小，tα,v 值越大；对于相同的α值，自由度ν越大，tα,v 值越小。当ν=∝时，则 tα,v=uα，故查 u 界值即可查ν=

∝的 t 界值。

表 7-9 t 界值表

自由度 概 率（ P ） 自由度 概 率 （ P ） 双侧： 0.10 0.05 0.02 0.01 双侧： 0.10 0.05 0.02 0.01

γ γ

要说明的是，若变量 X 服从偏态分布，但据中心极限定理，当样本含量足够大时，其样本均数近似服从正态分布，因此凡用 u 和 t 的推断正态分布总体均数的统计方法，只要样本含量足够大（比如 n＞30），也可近似用于推断偏态分布的总体均数。只是不对称的偏态分布总体不宜用均数来反映其平均水平。但如果偏态分布和正态分布相差不太远，用均数也不必太担心会不恰当。