二、总体相关系数的假设检验

双变量（X，Y）正态分布总体 X 和 Y 的相关系数为ρ。若ρ=0，则 X 和Y 无相关；只有ρ≠0 时 X 和 Y 才有直线相关关系，ρ＞0 为正相关，ρ＜0 为负相关。因此推断总体的 X 和 Y 有无直线相关关系，即推断总体相关系数ρ是否等于零。样本相关系数 r 反映样本中 n 对变量值直线相关的方向与紧密程度，为总体相关系数ρ的点估计。显然只有ρ≠0，所求得的样本相关系数才有意义。

总体相关系数的假设检验的检验假设（或无效假设）H0 为ρ=0；备择假设 H1 双侧为ρ≠0，单侧为ρ＞0 或ρ＜0。如果 H0 成立，则 r 和 0 的差别完

全由抽样误差造成。样本检验统计量为 t，称为样本相关系数 r 和总体相关系数 0 比较的 t 检验。计算 t 值的公式为

t = |r − 0| =

sr

ν = n − 2

（10·9）

式中 sr 为相关系数的标准误。

例 10·4 据例 10·1 中某地 10 名女中学生的体重与肺活量资料，问体重和肺活量有无直线相关关系？

设该地女中学生总体体重和肺活量的相关系数为ρ，假设为： H0：ρ=0

H1：ρ≠0 α=0.05

今 n=10，在例 10·3 中已算得 r=0.6945。据（10·9）式有

t = 0.6945

1− 0.69452

10 − 2

= 2.730

ν = 10 − 2 = 8

查 t 界值表得 P＜0.05。按α=0.05 水准拒绝 H0，接受 H1，认为该地女中学生的体重和肺活量有正的直线相关关系。

现在总结说明直线回归和直线相关的一些注意事项：

1.直线回归反映两变量间的依存关系，直线相关反映两变量间的互依关系，依存关系和互依关系都是数量关系，其实际的因果关系要靠专业知识阐述。因此不要把实际毫无关联的医学指标或现象作相关与回归分析。2.对于X 选定、Y 服从正态分布的双变量，只作直线回归分析；若（X，Y）服从双变量正态分布，则既可作直线相关分析；又可作直线回归分析。3.b 的正负和 r 的正负相同（r=0 时 b=0，r＞0 时 b＞0，r＜0 时 b＜0）。推断β是否等于 0 和推断ρ是否等于 0 等价，对同一样本用两种推断方法求得的 t 值相等。如对例 10·1 中的样本，例 10·2 中求得 t=2.728，例 10·4 中求得 t=2.730

（其微小差别是由于计算过程中的舍入误差）。若（X，Y）服从双变量正态分布，一般先作直线相关，如需要再作直线回归。作直线回归需在作直线相关推断出ρ≠0 才可进行，此时定会推断出β≠0，不必重复推断。

  1. 回归系数和相关系数的绝对值大小无直接关系，其意义不同：|r|越大，表示 X 和 Y 相关越紧密，各散点越靠近回归直线；|b|越大，表示 Y 随 X 变化越快，回归直线越陡。

  2. 双变量的小样本经 t 检验只能推断两变量间有无直线相关，而不能推断相关的紧密程度。要推断两变量间相关的紧密程度，样本含量必须很大， 比如 n＞100。此时抽样误差很小，可认为样本相关系数近似等于总体相关系数，一般|r|≥0.7 表示高度相关，0.4≤|r|＜0.7 表示中度相关，|r|＜0.4 表示低度相关。

  3. 不服从双变量正态分布的两个随机变量，若要作相关分析，可计算等级相关系数 rs（见下节）。