三、变异指标

描述变量值分布的离散趋势用变异指标。变异指标反映一群变量值的变异程度或离散程度。常用的变异指标有全距、标准差（standard deviation）、四分位数间距（interquar-tile）和变异系数（coefficient of variation）， 其中最常用的变异指标是标准差。不同变异指标的用途不同。全距对变量值的各种分布类型资料都适用；标准差和均数配套，变异系数作为辅助变异指标，适用于对称分布资料，特别是正态分布资料；四分位数间距和中位数配套，一般用于不对称的偏态分布资料。

变异指标和平均指标是彼此独立的。一群变量值的变异指标值越大，说明该群变量值的变异程度或离散程度越大，这是和平均指标值的大小无关的。平均指标和变异指标相结合，就可对一群变量值，特别是正态分布资料的一群变量值，作很好的描述。

1. 全距 全距表示一群变量值的最大值与最小值之差，用 R 表示。全距反映样本变量值的变异范围，简单明了，各种分布类型的资料都可采用。但不

足之处是全距只考虑了最大值与最小值的差别，而未考虑其他变量值的差别。例如设甲组变量值为 16，19，20，21，24；乙组变量值为 16，17，20， 23，24。甲组和乙组的全距都为 24-16=8。但甲组其他 3 个变量值 19，20，

21 比乙组其他 3 个变量值 17，20，23 的差别小，也就是说全距不能准确反

映样本所有变量值的变异程度。另外，最大值和最小值是样本的 2 个极端值， 随样本不同而变化大。故全距只能作为参考变异指标，不能作为主要变异指标。由于全距的意义明显，可只表示为极小值～极大值，如表 7-1 资料的全距表示为 3.79～5.88。

1. 标准差 标准差考虑了一群变量值中所有变量值的差别，用于对称分布资料，特别是正态分布资料，是最为恰当的。总体标准差用σ表示，样本标准差用 s 表示。

设为有限总体，变量值的个数为 N，总体均数为μ，则总体标准差的定义公式为

σ = （7·9）

总体均数μ一般是未知的，若用变量值个数为 n 的样本均数 估计，则样本标准差的定义公式为

s = （7·10）

为什么（7·10）式的分母用 n-1 而不用 n？这是因为据数理统计理论， 若用 n，则样本标准差 s 平均说来是总体标准差σ的偏低估计；而用 n-1，则s 能很好的估计σ。据此引入了统计中的常用术语——自由度（degree of freedom），用γ表示。现γ=n-1，可以这样理解：∑（X- ）2 是 n 个变量值的离均差平方和，由于 又是通过 n 个 X 值求出来的，于是受了 1 个条件限制，只有 n—1 个离均差平方是独立的。一般说来，变量值若求离均差平方和，则自由度等于离均差平方的个数减去限制条件个数。

标准差的单位是原变量的单位。标准差的平方σ 2 和 s2 叫做方差

（variance），其单位是原变量单位的平方。也可用方差代替标准差作变异指标。

1. 直接法：由样本 n 个变量值 X1，X2，⋯⋯，Xn 求标准差 s 的公式为

s =

（7·11）式和（7·10）式是等价的。

例 7·9 求例 7·2 中 10 名 7 岁男孩体重的标准差。

17.3+18.0+⋯+25.5=213.5

17.32+18.02+⋯+25.52=4619.43

（7·11）

s = = 2.6( kg)

该地 10 名 7 岁男孩体重的标准差为 2.6kg。

1. 加权法：当相同变量值的个数较多时，和加权法计算均数的（7·2）

   式配套，加权法计算标准差的公式为

s =

例 7·10

（7·12）

求例 7·1 中的 130 名正常成年男子红细胞数的标准差。在例

7·3 中的表 7-3 已算得∑fX=623.20，∑fX2=3009.12，故

s = = 0.409(10¹² / L)

该地区 130 名正常成年男子的红细胞数的标准差为 0.409×1012/L。

1. 四分位数间距 四分位数为特定的百分位数，用 Q 表示。下四分位数QL=P25，上四分位数 QU=P75，四分位数间距即 QU-QL。全部变量值比 QL 小有 1/4的变量值，比 QU 大有 1/4 的变量值。四分位数间距内包含全部变量值的 1/2， 可看作中间 1/2 变量值的全距。四分位数间距越大，变量值的变异程度或离散程度越大。也可用其他百分位数间距和中位数配套作变异指标，如 P80- P20，P90-P10，P95-P5 等。但四分位数间距较为常用，因为越靠近两端的百分位数越不稳定。

例 7·11 求例 7·8 中 238 名正常人发汞值的四分位数间距。在例 7·8 中已算得 P25=0.94μg/g，P75=1.77μg/g，故

QU-QL=1.77-0.94=0.83（μg/g）

238 名正常人发汞值的四分位数间距为 0.83μg/g。

现说明求几何均数的一群变量值，如何描述其变异程度或离散程度。若X 服从对数正态分布，则 Y=lgX 服从正态分布，把样本的 n 个 X 值转换成 n 个Y值，求n个Y值的均数Y和标准差s ，则中位数M = lg ^-1Y，可用lg^-1

(Y − s )～lg⁻¹ (Y + s )描述变异程度或离散程度 ο

描述变异程度或离散程度。

1. 变异系数 对于对称分布资料，特别是正态分布资料，标准差反映变量值的绝对变异程度。当两组或多组变量值的单位不同或均数相差较大时，不能或不宜用两个或多个标准差的大小来比较其变异程度的大小，为此引入反映变量值的相对变异程度的变异系数，样本变异系数 CV 的公式为

CV = s

X

×100%

（7· 13）

例 7·12 某地 20 岁男子 160 人，身高均数为 166.06cm，标准差为 4.95cm；体重均数为 53.72kg，标准差为 4.96kg。比较身高与体重的变异程度。

身高CV = 4.95

166.06

体重 CV = 4.96

53.72

×100% = 2.98%

×100% = 9.23%

20 岁男子体重的变异程度比身高的变异程度大。

例 7·13 某地不同年龄女童的身高资料如表 7-6 的第(1)、(2)、(3)、(4)栏，比较不同年龄身高的变异程度。

表 7-6 某地不同年龄女童身高（ cm ）的变异程度

由表 7-6 第(5)栏算得的变异系数可见，1 月至 5.5 岁女童随年龄增加身高的变异程度减小。