平行线的定义和判定（课堂纪实）

师：前面，咱们学习了两条直线互相垂直的位置关系，还记得吗？ 生：记得。

师：今天，我们继续研究在同一平面内两条直线的位置关系。

（板书：同一平面内两条直线的位置关系）你能想象得出，同一平面内两条直线的位置关系可能有几种情况吗？现在，每位同学的手里都有 10 根小棍儿，用每根小棍儿代表一条直线，每两根为一组， 试一试，你能在同一平面内摆出几种不同的位置关系？听明白了吗？

生：听明白了。

师：同桌同学可以互相合作，互相商量，现在开始摆。生：（动手摆小棍儿。）

师：（巡视指导）××摆出了两种，×××摆出了四种，××摆出了五种。现在请坐好。老师发现同学们摆得十分认真，摆出了很多种位置。为了便于大家观察，老师把摆的情况输入了电脑，请注意看， 谁摆出了第一种位置？

（屏幕显示①） 生：（举手）

师：第二种位置呢？

（屏幕显示②） 生：（举手）

师：（一一询问，屏幕一一显示③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ） 生：（一一确认）

师：现在，请同学们认真观察屏幕上的 7 种位置，你能根据它们不同的位置关系给它们分分类吗？互相讨论讨论。

生：（讨论）

师：谁能代表你们组来发言？

生：①④⑥为一类，③⑤⑦为一类，第②个为一类。师：你们组分成几类？

生：三类。

师：不同意见呢？

生甲：我们组也分三类。分法不同，①②为一类，④⑥为一类，③⑤⑦ 为一类。

生乙：我们分两类，①②④⑥为一类，③⑤⑦是一类。师：到底应该分成几类呢？谁来说说你的理由？

生：①②都有交点。

师：都有交点说明什么？

生甲：两直线相交了。③⑤⑦都没有交点，说明没有相交。④⑥也没有相交，延长后会相交。

生乙：①④⑥是相交的，③⑤⑦没有相交，第②组是互相垂直的。

师：大家都说出了自己的理由，讨论得很热烈。下面咱们大家共同来分析这七种情况，到底应该怎样分类，很明显，第一幅图与第二幅图

的两条直线分别相交了。剩下还有 5 组直线。

① ② ③ ④ ⑤

每组的两条直线表面看上去怎么样？ 生：没有相交。

师：今天我们就重点来研究一下，这表面看上去不相交的 5 组直线，它们完全一样吗？

生：不一样。

师：有什么不一样？

生甲：①③两组的直线都有倾斜，②④⑤组的直线没有倾斜。

生乙：第①组第③组的两条直线分别延长后会相交，②④⑤组的直线延长后不会相交。

师：还有不同意见吗？说说你的看法。

生丙：我也认为①③组的直线延长后会相交，②④⑤组的直线延长后不会相交，并且它们表面也不相交。

师：这两位同学的想法是一样的。我们一起来看一看，他们的想法到底对不对？

（教师操作微机，使每组的两条直线分别延长）

每组的两条直线延长后，会出现什么情况？第①组直线怎样了？ 生：相交了。

师：第②组呢？ 生：没有相交。

师：（分别延长每组的两条直线） 生：（分别判断每组的情况）

师：那好了。现在看第①组直线与第③组直线表面看上去不相交。

延长以后，它们分别相交了，那么这两组直线应该归到哪一类当中呢？

生：相交的一类。

师：再看②④⑤组直线，表面不相交，延长后也不相交，这就是咱们今天要研究的平行线。

（板书：平行线）

现在，我们继续观察这 3 组平行线，它们有哪些共同特点？

（教师操作微机，屏幕显示② ④ ⑤) 生：它们是两条直线，一边长。

师：它们只是一边长吗？都是直线，直线有什么特点？其它同学说说。生：它们延长后不会相交。

师：对。不会相交。还有吗？ 生：每组是两条直线。

师：非常好。必须是两条直线。那么，是不是只要是两条直线，不相交， 就一定是平行线呢？老师这儿有一个教具，你们看，这两条直线是平行线吗？

（教师出示板形教具） 生：是平行线。

师：为什么？

生：因为它们是两条直线，而且不相交。

师：请同学认真看，老师把这个教具稍稍变化一下。

（教师将一块板切为两块，每块上有一条直线，并且转动其中一块板）

还是这两条直线，现在还平行吗？ 生：不平行。

师：怎么回事呢？

生甲：老师把木块切开了。

生乙：刚才两条直线在一块板上，现在老师把木板切成了两块，两条直线分别在两块板上了，所以不平行了。

师：同学观察得真认真。这块木板，在数学上我们把它叫做一个平面， 也就是说，这两条直线在——

生：同一平面上。

师：在哪个平面上？谁来摸一摸？ 生：（摸）

师：（转动木板）

现在这两条直线还在同一平面内吗？ 生：不在。

师：所以它们不平行了。那么，两条直线平行，应该具备什么条件呢？ 生：在同一平面内。

师：还有吗？其它条件呢？你说说。生：延长后不能相交。

师：还有吗？ 生：都是直线。

师：对。刚才几位同学分别说出了平行线的一个或两个特点，能不能用一句话把同学说的这几个特征概括一下？大家讨论讨论。

生：（互相讨论） 师：谁能说一说？

生：在一个平面上，延长后不能相交的两条直线叫平行线。师：说得真不错。

生：两条平行线必须在一个平面上，延长后不能产生交点，是直线。师：真棒。把这几个特点都说全了。

生：同一平面内，不会相交的两条直线叫平行线。

师：书上有平行线的准确定义。我们一起看看专家们是怎样给平行线下定义的。打开书 141 页，看谁最先找到平行线的定义。好，谁来读一读？

生：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。师：后面还有一句话，请读完。

生：也可以说这两条直线互相平行。

师：把书放下。老师把平行线的定义写在板条上了，咱们一起来读一读， 要求声音洪亮、整齐，在读的过程中，思考这样一个问题：这个定义中，哪些地方比较重要？

（教师出示板条） 生：（齐读平行线定义）

师：读得很好。谁找到关键之处了？ 生甲：同一平面。

生乙：两条直线。生丙：不相交。 师：同意吗？

生：同意。

师：你们注意了吗？后面还有一句话呢？ 生：也可以说这两条直线互相平行。

师：我们再来看屏幕上的这组平行线。我们可以说第一条直线与第二条直线平行，也可以说——

生：第二条直线与第一条直线平行。

师：这才叫做互相平行。在我们的身边有很多平行线。就在我们的教室里，课桌上，你能举出一组平行线的例子吗？

生甲：黑板的两条长边是平行线。生乙：两条短边也是平行线。

生丙：铅笔盒的两条长边是平行线。

生丁：课桌的两条长边平行，两条短边平行。

师：说得很好。动手摸摸课桌的两条长边，再摸摸两条短边，感觉一下。好，现在看看课桌上刚才摆的小棍，谁摆出了平行线？没有摆出的同学迅速地摆出一组平行线。

生：（动手摆小棍儿）

师：摆对了。请大家闭上眼睛，跟我一起想：在一个平面上，有两条不相交的直线向远方延伸，能想象出来吗？

生：能。

师：谁能用语言描述一下，像什么？ 生：像铁轨。

师：很形象。像一段笔直的铁轨。老师这儿有几道题要考考你们。把红绿灯准备好，老师说开始再举牌判断。默读第一题。

生：（默读） 师：开始！

生：（举牌判断）

师：这道题是错的。请把牌放在桌上。这道题错在哪儿了？谁能说说？ 生：应该说，在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。它少了“同一

平面内。”

师：继续默读第二题。生：（默读）

师：开始！

生：（举牌判断）

师：也是错的。再看最后一道题。开始！ 生：（举牌判断）

师：好，这道题是对的。看来咱们同学对平行线已经有了初步的认识。老师这儿还有一组题，考考大家的眼力。可以出声地读题。

生：“判断下面哪组是平行线，哪组不是？”

师：题目出示以后，判断出来立刻告诉我，不用举手，我看谁判断得最

快。准备，开始！（出示四组图形： ）

生甲：第②组是平行线。生乙：第④组是平行线。

（学生热烈抢答）

师：请看，第③组是不是平行线？ 生：不是。它们不是直线。

师：说得真好。平行线有三个要素，都很重要，缺一不可。同学们一致承认第④组是平行线。老师把投影片换个位置，（转动投影片）现在还是平行线吗？

生：是。

师：要是再换个位置呢？ 生：也是。

师：怎么还是呢？

生甲：它们始终不相交。

生乙：而且一直在同一平面内。师：大家学得可真不错。

现在，老师这儿还有一组直线，是平行线吗？

（出示图形） 生：是。

师：现在请你注意观察，老师在平行线之间画了几条线段？ 生：画了 4 条线段。

师：真准。再来观察：这 4 条线段与这一组平行线之间是什么关系？ 生：是直角关系。

师：是直角关系吗？谁再说？ 生：它们是垂直的关系。

师：对了。是垂直关系。你是从哪儿看出来的？ 生：这 4 条线段与这一组平行线相交成直角了。

师：所以说这 4 条线段与这组平行线—— 生：互相垂直。

师：注意，再看这 4 条线段之间互相平行吗？是不是平行线？ 生：是平行线。

师：大部分同学说是，我听见一个声音说不是，说说你的想法。生：这 4 条是线段，不是直线，所以不平行。

师：他是这样想的。谁能帮他解释解释。

在前面的学习中，我们学过直线和线段有什么关系？ 生：线段是直线的一部分。

师：对了。这 4 条线段我们就可以看成是从直线上截取下来的一段，那它们是不是平行线？

生：是。

师：如果要动手测量，你会发现它们在长度上还有联系呢。打开书 141 页，动手测量这 4 条线段的长度。谁到前面来测量。

生：（动手测量）

师：谁量好了？说说你量的结果。生甲：我量的都是 1.5 厘米。

生乙：我量的也都是 1.5 厘米。师：你呢？

生：我量的也是 1.5 厘米。

师：到前面来量的同学说说结果。生：我量的 4 条线段都是 3 厘米。

师：好了，通过动手测量，你发现了什么？得到了什么结论？ 生甲：每条线段长度都相同。

生乙：平行线间的长度都相同。生丙：平行线间的距离都相等。师：听清了吗？准来重复一遍？ 生：（重复叙述）

师：这 4 条线段是平行线间的垂直线段，我们把平行线间的垂直线段叫平行线间的距离。通过动手测量，我们发现，平行线间的距离——

生：（齐答）都相等。

师：现在，请同学们看一看，老师把这幅图倒过来了，像什么？ 生：梯子。

师：在咱们的日常生活当中，平行线应用得十分广泛，掌握平行线的画法很有必要。下面，老师要求同学们自学平行线的画法，有几方面要注意：

1. 画平行线用什么工具？

2. 画平行线有几个步骤？

3. 每画一步都要完成什么？听明白了吗？ 生：听明白了。

师：现在打开书 141 页开始自学。可以出声地读一读。生：（自学）

师：好了。谁来说说画平行线用什么工具？ 生：尺子、三角板、铅笔。

师：说准确，什么尺子？ 生：直尺。

师：都带了吗？举起来让我看看。生：（举起工具）

师：第一步干什么？

生：固定三角板，沿一条直角边画一条直线。

师：好，看老师示范：固定住三角板，找好直角边，画一条直线。第二步呢？

生：用直尺紧靠三角板的另一条直角边，平移三角板。

师：再看，老师怎样用直尺紧靠另一直角边，平移时向上平移行吗？ 生：行。

师：向下呢？ 生：也行。

师：在平移的过程中，三角板始终要紧靠直尺。第二步完成了吗？ 生：完成了。

师：最后一步干什么？一起告诉我。生：再沿另一条直角边画一条直线。师：沿哪条直角边画线？

生：还是沿刚才画线那条。

师：看老师画。这组平行线就画好了。会画了吗？ 生：会了。

师：别急，再看老师用另一个三角板来画一组平行线，你要细细体会一下这三个步骤，看看老师是怎样完成每一步的。

（教师再次示范）现在会画了吗？ 生：会了。

师：现在拿出你的三角板和直尺，在白纸上任意画一组平行线。开始。生：（画平行线）。

师：请同学们坐正。刚才老师发现××画得很规范，咱们请他到黑板上来给我们大家示范一下怎么画的。

生：（板演）。 师：画得好不好？ 生：好！

师：大家为他鼓掌。刚才同学画得很认真，看得也十分认真，说明同学们很虚心。再看黑板，我们今天学得是什么？

生：平行线。

师：你都学会什么了？

生：我知道了平行线的定义，还学会了画平行线。生：我知道了平行线的特点。

生：我知道了平行线应用很广泛。

师：说得很好。到目前为止，同一平面内两条直线的位置关系，咱们学了几种？

生：两种。

师：这两种位置关系分别是相交和不相交。在相交当中，我们重点学习了垂直。不相交就是我们今天学习的平行。

相交（垂直） 板书：

不相交—平行

师：下课之前，老师还有几道题考考同学们。（操作微机，出示） 这是什么图形？

生：长方形。

师：长方形中有平行线吗？ 生：有。

师：谁来找找。

生：（指着长）这是两条平行线。（指宽）这也是两条平行线。师：对吗？

生：对。

师：（操作微机，两条长边闪烁，并“嘀嘀—”响，两条宽边闪烁，“嘀嘀”响），找得又准又全。现在屏幕上是一个什么图形？

生：平行四边形。

师：有平行线没有？ 生：有

师：你来找找。

生：（指着两条底）这是两条平行线。师：（操作微机进行判断）。

生：（指着两条斜边）这也是两条平行线。师：（操作微机进行判断）。

找对了！学得非常好。现在，老师这儿有一个长方体，在这个长方体中有平行线吗？

生：有。

师：谁来找找。

生：（找、摸）⋯⋯

师：现在老师给大家指出一组直线：前面的这条粉色的棱和后面的这条粉色的棱，是平行线吗？

生：是。

师：为什么？

生：延长后不会相交。 生甲：在一个长方体内。生乙：在一个平面内。 师：在哪一个平面内。

生：在这个平面内。（动手示意）。

师：他说对了。老师做了一个平面，（示范），请同学们看一看，在不在同一平面内？

生：在。

师：是不是平行线？ 生：是。

师：老师再给你指出一组，这条绿色的棱，与这条粉色的棱是平行线吗？ 生：不是。

师：为什么？ 生：会相交。

师：想象一下，延长试试，会相交吗？ 生：不会。

师：那为什么呢？ 生：不在同一平面。师：有道理吗？

生：有。

师：无论我怎样延长这两条棱，它们始终不会在同一平面，所以不是平行线。

还有什么问题吗？ 生：没有。

师：下课。

（四年级数学教师 韩玉娟）