数学成就

沈括首创的除积术和会圆术，开辟了中国传统数学的新的研究方向。隙积术是一种求解垛积问题的方法，属于高阶等差级数求和的问题。

沈括具体涉及到的有累棋、层坛和积罂等问题，他得出了正确的求解公式： 垛积体数目或体积

V = h [(2b + d)a + (2d + b)c] + h (c − a)

^隙 b b

其中 a 和 c 分别为垛积体上、下宽度，b 和 d 分别为垛积体上、下长度，h 为垛积体的高度。后世杨辉(1261)、朱世杰(1303)在沈括的基础上，发展了高阶等差级数求和方法，把其推广为更具普遍意义的“垛积术”。

会圆术是一种已知弓形的圆径和矢高，求弧长的问题。沈括推导出求弓形弧长的近似公式：

2b²

l = d + c c = 2

其中 l 为弧长，d 为直径，b 为矢高，c 为弦长。元代的王恂、郭守敬等人在编修《授时历》时，就用此公式来计算黄道积度和时差。