边冈

陈美东

边冈籍贯、生卒年不详，主要活动于唐代末年(9 世纪末至 10 世纪初)。天文学、数学。

史籍关于边冈生平的记载十分简略，我们只知道：唐昭宗时(公元 889

—904 年)他曾任太子少詹事之职，是负责东宫太子的饮食、礼仪、刻漏、车骑以及安全等事务的“詹事府”的副职，官列正四品上。由于他对天文历算深有造诣，昭宗诏令他与司天少监胡秀林、均州司马王墀一道改治新的历法，以代替已施行数十年、疏漏日显的宣明历(公元 821 年)。经过数

年的观测研究，边冈不负众望，于景福元年(公元 892 年)完成了著名的崇

玄历，随即颁行全国，直至唐亡(公元 907 年)。

崇玄历是我国古代有诸多创新和影响深远的一部历法。史书说该历法的历术“一出于冈”(《新唐书·历志》)，至少可以说边冈是这一次卓有成效的历法改革的主将。在崇玄历中，他不但对若干天文数据和表格作了重要的改进，而且充分发挥了他的数学才能，对历法的一系列算法进行了大胆和成功的改革，从而奠定了后世历法新算法的坚实基础，大大加速了我国古代历法数学化的进程。所以，边冈不但作为一位杰出的天文学家， 而且还作为一位重要的数学家而名垂青史。

天文数据的测算和天文表格的编制，是历法编制工作的重要一环。对崇玄历的考察表明，其不少数据和表格显然受到了一行大衍历(公元 728 年)的影响，但也有不少是边冈独立测算所得的新成果：崇玄历取交食周期为 3350 个交点月适与 263 个食年长度相等，由此可算得其食年长度取346．61953 日，这与理论值之差仅约 15 秒，其精确度远高于前代各历法， 后世也只有纪元历(1106)所取值的误差(约 7 秒)较之为小。边冈测算得月亮过远地点时间的误差为 0．35 日，精确度也较大衍历高过一筹。崇玄历月亮运动不均匀改正表的精度(用月亮每日实行度的测算结果衡量，误差为7．0＇)，在历代同类表格中是最佳的。关于五星会合周期的测定，崇玄历取木星会合周期为 398.88608 日，误差为 2.9 分钟，优于大衍历(误差为

13.5 分钟)，而且该值对后世许多历法产生了很大的影响。崇玄历所取金、水二星会合周期的精度亦高于大衍历，但火、土二星会合周期的误差却远大于大衍历。边冈对火星近日点黄经进行了较精确的测算，与理论值仅差1.57°，是为历代最佳值。边冈测得木、火、土、金、水五星近日点黄经的进动值分别为 35.20″，35.08″，34.94″，35.31″和 35.12″，虽然这些数值的误差都较大，但从总体上看比前代各历法进了一步，而且在纪元历以前各历法均参照这些数值，影响是相当大的。对于五星运动不均匀改正的数值表格，边冈也给出了新的格式：他把一周天分为前后不均等的两大段“盈限”和“缩限”，每一大段又各均分为 12 小段，分别列出五星运动的具体盈缩值。在对五星近日点黄经的测量存在一定误差的情况下，

这一新格式能较真实地反映五星运动不均匀改正的不对称性，可以较好地描述五星运动的真切状况。这一新格式对宋初一些历法产生了较大的影响。以上这些成果表明，边冈在编制崇玄历时曾进行了相当多的且十分精到的天文实测工作，他无愧是一位有成就的天文观测家。

边冈的主要贡献还在于一系列历算方法的创新，在崇玄历中，他设计了不少巧妙的删繁就简的便捷算法。例如，推求任一年十一月冬至时月亮平均行度(B)，依传统方法应等于：

式中 A 为上元到所求年的积年数，A≥53947308。若将有关数据代入上式， 则有：

这对于古人来说当然是一个相当繁杂的算题。边冈则设计了以下算式替代之：

4 1 2

19 (639 119 ×■余 − 37 ×■周)

B = 周天度数 的余数,

式中■周等于 A／9036 的整数，其余数即为余。对于 A=53947308 以及其后 600 年内，其■周均等于 5970，■余则在 2388 至 2988 之间变动，依两种算法所得 B 值的差异将不大于 0.04 度，这应是当时的计算误差所能允许的。

又如，推求任一年冬至午中与月亮远地点间的时距(G)，依传统方法应为：

式中 E 为冬至时刻与午中的时距，冬至时刻在午后时为减，午前时为加。将有关数据代入，则有：

4930801 ×A±E

G = 13500 ,

371986.97

13500

边冈又设计了如下算式以替代之：

式中 C 等于■余／47 的整数，其余数即为 D。对于 A=53947308 及其后 600 年内，C 将在 50 至 63 间，而 D 在 0 至 47 间，依两种算法可得 G 值的差异将不大于 0.05 日，也在计算误差允许的范围内。由这两个例子可见，边冈设计的新算法确比传统方法便捷得多，而且保持了必要的准确度，这表明了边冈具有十分敏捷的思维与纯熟、巧妙的数据处理能力。应该说这些还只是边冈在历算上小试锋芒而已，他更重要的贡献是关于先相减后相乘法

的总结与推广，以及高次函数法的发明与应用。

隋唐时期，刘焯(公元 604 年)、一行(公元 728 年)等人发明等间距或不等间距二次差内插法、等差级数法等，为较好地定量描述日、月、五星的运动提供了全新的数学方法。此外，约在公元 780 年，曹士■在他的符天历中，首创了又一种新算法，应用于太阳中心差的计算，其公式为：

V − M =

1

3300

(182 − M)·M,

式中 M 为太阳距冬、夏至的平行度，V 为相应的实行度。这一算法具有简便鲜明的特点，从数学原理上考察又与二次差内插法、等差级数法等有异曲同工之妙。可惜，直到边冈，刘焯、一行的算法倍受历算家的重视并被广泛应用，而对曹士■的算法却几乎无人问津。在崇玄历中，边冈一方面自如地应用等间距二次差内插法于日、月运动的计算；一方面对曹士■的算法作了数学上的总结和归纳，从而提炼为所谓先相减后相乘法。如对上式可表述为：M 先与 182 相减，后又令其余数与 M 相乘，再除以 3300。并且把这一算法广泛应用于许多历法问题的计算。

崇玄历求太阳中心差的算式为：

V − M =

1

3435

(181.8682 − M)·M。

式中 V、M 的含义与上式相同，显然它受到了上式的直接影响，但其准确度要较上式为高。

崇玄历以前各历法在计算黄赤道宿度差时，均采取文字叙述的表格计算法，一般规定在二至或二分前后，太阳赤经每增 4 或 5 度，太阳极黄经较太阳赤经增或减若干度，计算起来比较繁杂。而崇玄历则以下式求算之：

F = ±

1

10000

[(1315 − 144 S)S −

10

1

1690

(4566 − S)S]。

式中 F 为太阳极黄经与赤经之差，S 为太阳赤经值，0＜S＜45．65685 度； 若 45．65685＜S＜91．3137 度，需以 91．3137 度返减之。可惜，依该式计算结果的误差约为 0．35°，精度反不如前，这是边冈对黄赤道差的变化规律还没有很好把握造成的。

关于月亮极黄纬的计算，崇玄历应用了如下公式：

当 m＜30 度，及 152＜m＜182 度(需以 182 度返减之)时，

P = 193

350000

( 81305 − m)m, 386

当 30＜m＜91 度，及 91＜m＜152 度(需以 182 度返减之)时，

P = 1733

2100000

( 314440 − m) m −

1733

8281 ,

10500

上二式中，P 为月亮极黄纬值，m 为所求时日月亮与黄白交点的度距。依二式计算，误差为 0.37°，精度与传统的表格计算法持平。

以上各式均取先相减后相乘法。此外，在崇玄历中，在推算因定朔发生时角不同而发生的定朔时刻与日食食甚时刻的改正值时，在交食推算中与视差改正有关的阴历食差、阳历食差值时，亦都应用了该法。它们的共同特点是以简易明了的算式，取代了传统的、较为繁杂的先列出数字表格， 再依表格用一次或二次差内插法计算的表格计算法。由于边冈的总结、提倡和推广，先相减后相乘法在后世历法中被普遍采用，成为历法计算的最

重要的数学方法之一。

边冈对历法计算方法的创新还表现在关于每日晷长、太阳视赤纬、昼夜漏刻长度等值的计算上。如果说先相减后相乘法还仅是一种二次函数的描述的话，那么对这些历法问题，边冈更发明和应用了三次和四次函数的描述法。

崇玄历推求每日午中时阳城的晷长(L)的算式为：

当冬至后 H＜59 度时，乃夏至后 H＞123.62225 度(需以 182.62225 度返减之)时，

L=12.7150-(2195-15H)H2·10-6，

当冬至后 H＞59 度(需以 182．62225 度返减之)时，及夏至后 H＜ 123．62225 度时，

L=1.4780＋(4880—4H)H2·10-7，

上二式中 H 是指二至与所求日午中之间太阳的实行度数。该二式是三次函数式，依之计算的晷长误差为 0.025 尺，与大衍历依表格计算法计算的精度相当。该二式对仪天历(1001)和崇天历(1024)的晷长计算法产生了直接的影响。

在计算太阳视赤纬(δ)时，边冈所应用的算式是：

δ=23．9141—T，

δ=T－23．8859，

它们分别适用于春分后和秋分后时日δ值的计算。其中

184

T = 50025

W ² −

16 4

50025×3335 W

式中 W≤91.3131 度；若 W＞91.3131 度，需以 182．6262 度返减之。W 为二至到所求日夜半的太阳定行度。

而对于每日夜半定漏(Y，指每日夜漏刻长度的一半)的计算，边冈所取算式为：

1

Y = 100 （1752 + Q），

Y = 1

100

（2748 - Q），

它们分别适用于春分后和秋分后时日 Y 值的计算。其中

Q =

式中 W 的含义同 T 式。

460

6003

W² −

8

4004001

W⁴ ,

同样，在崇玄历以前各历法在计算δ和 Y 值时也均取表格计算法，边冈则以相应的四次函数式替代之，依之计算，δ的误差为 0.09°，Y 的误差为 4.6 分钟，二者的精度也都与大衍历所取传统的表格计算法不相上下。边冈的δ、Y 算法对崇天历(1024)、明天历(1064)和观天历(1092)的相应算法也产生了直接的影响。

质言之，边冈总结、推广或发明创造的二次、三次和四次函数计算法， 共同构成了一个高次函数计算法的崭新的数学模式，它们取代了一系列历法问题计算中传统的数值表格加内插法的数学模式，是我国古代历法中数学方法的一次极重大的变革。二、三、四次函数法与二、三、四次差内插

法在数学形式上迥异，但其实质却同，即两者是可以互通的。在边冈以前， 三次差内插法尚未出现完善的形式，一直到授时历(1281)才最终完成，而且我国古代历法史上从未有过四次差内插法，更可见边冈首创的三、四次函数法的重大意义。相比较而言，高次函数法较表格计算法具有形式简明、计算便捷的突出优点，而且自边冈始，新法的计算精度已大抵达到了旧法的水平。此外，表格计算法具有较浓重的实测型、经验型色彩，对日、月运动和有关天文量变化的描述存在区间性及不协调的重大缺欠，而高次函数法则把这些描述完全数学化了。所以，无论从数学上或是从天文学上看， 边冈的高次函数法都是相当成功的变革。该法极大地充实了我国古代天文学代数学体系的内容，边冈作为该法的奠基者，在我国古代天文学史上应占有十分重要的地位。

最后，我们还要提到边冈关于交食的研究成果。在崇玄历中，他给出了月食食分的新算法：

K 阳或阴

= (1480 − ∆ 阳或阴 ) − R

1480 − ∆ 阳或阴

∆ 阳或阴

×10 + 1480 − ∆

×10,

∆阳 =

34

100

1000N (2000 − 1337 ),

∆ = 41 (2000 − 1000N ),

^阴 100 1337

式中 K 阳、K 阴分别指当月亮位于黄道南或北时的月食食分值，R 为定望时月亮与黄白交点的度距，N 为定望时月亮的实行度分值，该值在 1207 分到1464 分之间变动，△阳、△阴分别为月亮位于黄道南或北时的食限值(阳历食限或阴历食限)。

K 阳或阴式右边第一项分数部分的天文学含义是月面直径被遮掩部分与

月面直径的比值，而 10 系指月面直径的总分数，即月全食时食分为 10 分。这是边冈汲取前人已有成果而得的，小有不同的是：传统算法均以(1480-

△阳或阳)为常数值，边冈则以变量替代之。而右边第二项是边冈引进的一特定的月食食分改正值。又从 K 阳或阴算式知，当 N 较大(即月亮在近地点附近)时，△阳或阴较小，K 阳或阴亦较小；当 N 较小(即月亮在远地点附近) 时，△阳或阴较大，K 阳或阴亦较大。这就是说边冈已经虑及了月亮与远、近地点的相对位置不同对月食食分的影响，可惜他并未给出正确的描述。此外，边冈的算式不但首次给出了月食的阴、阳历食限的明确概念和数值， 而且还首次以月在黄道南北不同来分别计算食分，正确地反映了月亮视差对食分计算的影响。若令 K 阳或阴=0，可得 R=1480 分≈14.80 度≈14.59°， 此即边冈所取的可能发生月偏食的食限值，其误差约为 2.1°；令 K 阳=5， N=1207，可得R=946.9 分=9.51°，此即边冈所取的必定发生月偏食的食限值，其误差约 0.2°；令 K 阴=10，N=1207，可得 R=449.9 分=4.43°，此即边冈所取的可能发生月全食的食限值，其误差约为 1.4°；又令 K 阳=10， N=1464，可得R=307.7 分=3.03°，这则是边冈所取的必定发生月全食的食限值，其误差约为 0.1°，这四个不同的食限值从总体上看是我国古代所取的最完善的数值。边冈对交食的研究还包括关于日食食分及食限、亏初和复满时刻等的新算法。他的这一系列成果把我国古代交食研究推向了新

的高度。