捷算法与素数

杨辉致力于捷算法的研究，并取得一些成就。例如，《算法通变本末》中记载着一种叫“重乘”的算法，即把乘数分解为若干因数之积的形式， 然后用因数去乘。杨辉说：“乘位繁者，约为二段，作二次乘之，庶几位简而易乘，自可无误也。”例如 38367×23121，杨辉便把 23121 分解为 9

×7×367，然后再乘 38367。

由于捷算法的需要，杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题。他说：“置价钱(即 23121 文)为法，约之。先以九约，又以七约，乃见三百

六十七，更不可约也。”所谓不可约，就是说除了 1 和本身外没有其他约数。显然，杨辉的“不可约”之数即素数。他在这里首次提出素数概念， 又在《法算取用本末》中列出了从 201 到 300 的素数表，共 16 个：

211，223，227，229，233，239，241，251，

257，263，269，271，277，281，283，293。

这实际是 201 到 300 的全部素数。虽然杨辉对素数的研究远在欧几里得之后，理论上也不够完整，但他在没有外来影响的情况下注意到这一重要问题，其思想之深刻是值得称道的。

“求一乘”和“求一除”也是捷算法，是用加减代乘除，通过折、倍等方法来实现的，“求一”就是变首位为 1 的意思。例如 237×56，先倍

56，得112，再折237，即 237 = 118.5，然后用112乘118.5。

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在运算方面，杨辉特别重视乘法，他说：“夫习算者，以乘法为主。” (《详解九章算法》)认为“乘除者，本勾深致远之法”，“因法不独能乘， 而亦能除”(《算法通变本末》)。例如

2746÷25=27.46×4=109.84，

这种以乘代除的方法不仅施于精确计算，也用于近似计算。例如2746÷1111＝0.2746×9=2.4714。

《田亩比类乘除捷法》中的一些题列出了不同的方法，这些方法有繁有简，杨辉的意图就在于比较优劣，提倡捷法。