李冶

孔国平

李冶字仁卿，号敬斋。真定府栾城(今河北栾城)人。金明昌三年(1192 年)生于大兴(今北京大兴)；元至元十六年(1279 年)卒于河北元氏。数学。

李冶的父亲李■是位博学多才的学者，曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官，母亲姓王。李冶有两个同父异母的弟兄，兄名澈，刘氏所生；弟名滋， 崔氏所生；还有两个同胞姐妹。李冶原名治，后来发现与唐高宗相同，于是减去一点，改为冶。

李冶出生的时候，金朝正由盛而衰。章宗即位(1190)后，官僚政治日趋腐败。由于管理不善，酿成了连年水灾。再加上对外战争及任意挥霍， 金朝出现了财政危机，于是滥发纸币，致使物价飞涨，国虚民穷。泰和八年(1208)，金章宗病死，卫绍王允济即皇帝位。这时蒙古军队加紧向金朝进攻，腐朽的金朝内已潜伏着亡国的危机。李■的上司胡沙虎是一个深得朝廷宠信的奸臣，“声势炎炎，人莫敢仰视”，动辄打骂同僚，欺压百姓， 甚至“虐杀不辜”。李■见他无恶不作，常常据理力争，置个人生死祸福于度外。只因为官谨慎，才免遭毒手。李■为了防备不测，便把老小送回故乡栾城。这时李冶正是童年，他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元

氏求学去了。至宁元年(1213)，由于胡沙虎篡权乱政，李■被迫辞职，隐居阳翟(今河南禹县)，从此不再过问政事。他吟诗作画，在当地颇有名声。

父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。在李冶看来，学问比财富更可贵。他说：“积财千万，不如薄技在身”，又说：“金璧虽重宝， 费用难贮蓄。学问藏之身，身在即有余。”他在青少年时期，对文学、史学、数学、经学都感兴趣，曾与好友元好问外出求学，拜文学家赵秉文、杨文献为师，不久便名声大振。正大七年(1230)，李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。同年得高陵(今陕西高陵)主簿官职，但蒙古窝阔台军已攻入陕西，所以没有上任。接着又被调往阳翟附近的钧州(今河南禹县)任知事。开兴元年(1232)正月，蒙古军队攻破钧州。李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河，走上了漫长而艰苦的流亡之路。这是他一生的重要转折点，将近 50 年的学术生涯便由此开始了。

李冶北渡后流落于山西的忻县、崞县之间，过着“饥寒不能自存”的生活。一年以后(1233)，汴京(今河南开封)陷落，元好问也弃官出京，到山西避难。1234 年初，金朝终于为蒙古所灭，李冶与元好问都感到政事已无可为，于是潜心学问。李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于崞县的桐川。这时，他已年过 40 了。金朝的灭亡使他不再为官，他虽然生活艰苦，但有充分的时间进行学术研究。他的研究工作涉及数学、文学、历史、天文、哲学、医学。与李冶同时代的砚坚说他“世间书凡所经见，靡不洞究，至于薄物细故，亦不遗焉”。但他认为“数术虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务”，于是把主要精力用于数学。他于 1248 年写成代数名著——《测圆海镜》12 卷。后来到太原住了一个时期，藩府官员曾请他出仕，但他谢绝了。后来，他又流落到平定。平定侯聂■很尊重他，把他接到自己的帅府来住。他却“私心眷眷于旧游之地”，怀念着少年求学时的元氏。1251 年，李冶的经济情况已经好转，他终于结束了在山西的避难生活，回元氏定居。他在封龙山下买了一点田产，以维持生活，并开始收徒讲学，从事数学教育活动。

李冶的学生越来越多，家里逐渐容纳不下了，于是师生共同努力，在北宋李■读书堂故基上建起封龙书院。李冶在书院不仅讲数学，也讲文学和其他知识。他呕心沥血，培养出大批人才，并常在工作之余与元好问、张德辉一起游封龙山，被称为“龙山三老”。1257 年，忽必烈召见金朝遗老窦默、姚枢、李俊民等多人，又派董文用专程去请李冶，说：“素闻仁卿学优才赡，潜德不耀，久欲一见，其勿他辞。”是年五月，李冶在开平(今内蒙古正蓝旗)见忽必烈，陈述了自己的政治见解：“为治之道，不过立法度、正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者，赏罚示惩劝。”在谈到人才问题时，他说：“天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳。” 最后，他向忽必烈提出“辨奸邪、去女谒、屏馋慝、减刑罚、止征伐”五条政治建议，得到忽必烈的赞赏。

李冶会见忽必烈之后，回封龙山继续讲学著书，于 1259 年写成另一部数学著作——《益古演段》。1260 年，忽必烈即皇帝位，是为元世祖。第二年七月建翰林国史院于开平，聘请李冶担任清高而显要的工作——翰林学士知制诰同修国史。但李冶却以老病为辞，婉言谢绝了。从时代背景及李冶思想分析，他拒绝应聘的原因有二。第一，蒙古统治者没有接受李冶

“止征伐”的建议，而是大举攻宋，从而引起李冶不满；第二，忽必烈初登帝位，其弟阿里不哥不服，起兵反抗，蒙古统治区陷入连年内战。李冶是不愿在这种动荡的局势下作官的。他说：“世道相违，则君子隐而不仕。”忽必烈降服阿里不哥、平定蒙古内乱后，再召李冶为翰林学士知制诰

同修国史。李冶于至元二年(1265)来到燕京(今北京)，勉强就职，参加修史工作。但他不久便感到翰林院里思想不自由，处处都要秉承统治者的旨意而不能畅所欲言。因此，他在这里工作一年之后便以老病辞职了。李冶是个追求思想自由的人，尤其不愿在学术上唯命是从。他说：“翰林视草， 唯天子命之；史馆秉笔，以宰相监之。特书佐之流，有司之事，非作者所敢自专而非非是是也。今者犹以翰林、史馆为高选，是工谀誉而善缘饰者为高选也。吾恐识者羞之。”

李冶辞职后一直在封龙山下讲学著书。他在晚年完成的《敬斋古今■ (音 tǒu)》与《泛说》是两部内容丰富的著作。《泛说》一书今已不存，据《元朝名臣事略》中的几段引文及书名来看，这是一本随感录，记录李冶对各种事物的见解。《敬斋古今■》则是一本读书笔记，“上下千古， 博极群书”，在文史方面颇有独到见解。另外，李冶作过不少诗，其中有五首保存在《元诗选癸集》中。从这些诗来看，李冶的文学造诣相当深。李冶还著有《文集》40 卷与《壁书丛削》12 卷，均已失传。

李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》。他在弥留之际对儿子克修说：“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者。庶可布广垂永乎？”

李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动， 使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。

天元术是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”与今“设 x 为某某”是一致的。在中国，列方程的思想可追溯到《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。到唐代， 王孝通已能列出三次方程，但他不懂天元术，完全用几何方法推导方程， 所以需要高度技巧，不易被一般人掌握。实际上，宋代以前的方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数通常是表示面积、体积等几何量的；方程次数不高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何解释了。经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题被基本解决。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的方法，天元术便应运而生了。但在李冶之前，天元术还比较幼稚，记号混乱，演算烦琐。从稍早于《测圆海镜》的《钤经》(石信道撰)来看， 天元术的作用十分有限，因为数学家们的思维方式基本上是几何的，只是在用几何方法无法计算时，才偶尔用一下天元术。李冶致力于创造一种简便的、适用于各种问题的列方程方法。他认识到，只有摆脱几何思维束缚， 建立一套不依赖于具体问题的固定程序，才能实现上述目的。在洞渊、石信道等天元术先驱的工作基础上，他终于总结出一套简单明确的列方程程序：首先立天元一，这相当于设未知数 x；然后寻找两个等值的而且至少有一个含天元的多项式；最后把两个等值多项式联为方程，通过“相消”， 化成标准形式

anxn+an-1xn-1+⋯+a0=0。

李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作。该书把勾股容圆■ 图 1 圆城图式

(切圆)问题作为一个系统来研究，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题。卷一的圆城图式是全书出发点，书中 170 题都和这一图式有关。为了叙述方便，我们在各勾股形直角顶点处标上数字(图 1)。卷一的另一部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆径的关系。识别杂记共 600 余条，每条可看作一个定理(或公式)，其中最重要的是下面十个圆径公式：(D 表直径，r 表半径，a，b，c 表勾、股、弦)

1 2

(1) 2 D

1 2

_{11 10} (2) 2 D

= a10 ×b11 ,

1 2

(3) 2 D

1 2

_{13 1} (4) 2 D

= b13 ×a1 ,

(5)r ² = b2 ×b15 , (6)r ² = a14 ×a3 , (7)D2=b4×a5, (8)r2=b7×a3, (9)r2=(c14+b14)(c15+a15), (10)r2=(c14+a14)(c15+b15)。

卷二及以后各卷都是算题。下面以卷四第六问为例，说明李冶怎样用天元术解题。左边是原文，右边是译文。(原草为一整段，这里为叙述方便， 分成若干段。)

或问乙出东门，南行不知步数而立。甲出北门，东行二百步望见乙， 复就乙斜行一百七十步与乙相会。问答同前。草曰：(1)识别得二行相减， 余三十步，即乙出东门南行步也。

(2)立天元一为半城径。

(11)以平方开之，得一百二十步，倍之即圆径也，合问。已知 a3=200，c11=170。求 D。

由识别杂记，b15=a3-c11=30。 设半城径为 x。b11=x+b15=x+30。a11=a3-x=200-x 。 a1=a3+x=200+x。

因为△1∽△11，

所以b = a1×b11

1

l1

= x2 + 230x + 6000 200 − x

2b10=2(b1-2x)

2[x ² + 230x + 6000 − 2x(200 − x)]

= 200 − x

6x² − 340x + 12000

= 200 − x

因为 1 D ² = b

2

10 ×a11，

所以 D2=2b10×a11=6x2-340x+12000。

又因为 D2=(2x)2=4x2，

所以 4x2=6x2-340x+12000。

移项，合并同类项，得2x2-340x+12000=0。

化简，得

x2-170x+6000=0。

解方程，得 x=120。所以 D=2×120=240。

由于摆脱了几何思维束缚，李冶在方程理论上取得许多进展：第一， 改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。例如，卷六第四问所得方程为

第七问所得方程为

-x2-72x+23040=0，

-x2+640x-96000=0，

两题常数项的符号恰好相反。实际上，《测圆海镜》中方程各项的符号均无限制，这是代数学的一个进步。

第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。书中 170 题，有 19 题列出三次方程，13 题列出四次方程，还有一题列出六次方程。在李冶这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方也并非代表体积。

第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。

第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子 xn(n 为正整数)时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数。这一作法相当于用 xn 去除方程各项。在《测圆海镜》中，李冶采用了从○到九的完整数码。除○以外的九个数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇○空位，没有符号○。从现存古算书来看，李冶《测圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用○的两本算书，它们成书的时间相差不过一年。另外，李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。李冶的负号与现在不同，是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位有效数字上，

7.59875 尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。李冶则取消数名，完全用数

码表示小数，纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写步，如 0.25 记作

小数记法还很笨重。例如比利时数学家 S.斯蒂文(Stevin)在 1585 年发表的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如 27.847 写作 27◎8①4

②7③，这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17 世纪，J．纳皮尔(Napier)发明小数点后，小数才有了更好的记法。至于负号，在国外是德国人于 15 世纪首先引入的。

由于李冶掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号， 尤其是缺少等号。这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代数的前身。大约 300 年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。

《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章(卷)内容大体上平列。李冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。

《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。元代王恂、郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。不久，沙克什用天元术解决水利工程中的问题，收到良好效果。元代大数学家朱世杰说：“以天元演之，明源活法，省功数倍。”清代阮元说：“立天元者， 自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。”

《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容较深，粗

知数学的人看不懂。而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢。李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教学的同时，着手写一部普及天元术的著作。李冶曾读过北宋数学家蒋周的

《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方法则是几何的。李冶用天元术对此书进行研究，写成《益古演段》3 卷。如果说《测圆海镜》是为数学家写的，那么《益古演段》就可能是为他的学生写的。

《益古演段》全书 64 题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问题， 内容安排基本上是从易到难。李冶在完成《测圆海镜》之后写《益古演段》， 他对天元术的运用自然会更加熟练。但他却没有像前者那样，完全用天元术解题。书中新旧二术并列，新术是李冶的代数方法——天元术；旧术是蒋周的几何方法——条段法，这是一种图解法，因为方程各项常用一段一段的条形面积表示，所以得名。该书揭示了两者的联系与区别，对我们了解条段法向天元术的过渡、探讨数学发展规律有重要意义。书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的。该书图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学。正如砚坚序中的评价：“说之详，非若溟■黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观。”这些特点，使它成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播发挥了不小的作用。

在数学理论上，《益古演段》也有创新。该书的问题同《测圆海镜》不同，所求量不是一个而是两个、三个甚至四个。按古代方程理论：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含方程个数与所求量个数一致。但解二次方程组要比解一元方程困难得多。李冶既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补原理(即“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。” 吴文俊语)及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易求出了。

例如第三十五问：“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地五千七百六十步。只云从外田东南楞至内池西北角，通斜一百一十三步，其内池阔不及长三十四步。问三事(指池长、池阔及圆径)各多少？”(图 2)此题欲求三数，若以方程组解之，须列出三个方程，一个可能的列法是：

设圆径为 x，直池长为 y，阔为 z，则

 3 x ² − yz = 5760,(圆面积= 3 [直径]²

 4 4

  

 x y² + x²

 + = 113,



z + 34 = y





但李冶却设法避免了联立方程。

依本题法，设角斜为 x，则圆径=x+113，

四圆积=3(x+113)2=3x2+678x+38307，

所以四池积=四圆积-4×5760

=3x2+678x+15267。(1)

因为池斜=113-x，

所以二池积=(113-x)2-342

=x2-226x+11613，

所以四池积=2x2-452x+23226。(3) 由(1)，(3)消得

x2+1130x-7959=0。

题中(2)式所用二积一较幂公式 2ab+(a-b)2=a2+b2 图 3

便体现了出入相补原理。这从李冶的条段图中可以看得很清楚，如图3，四勾股形全等，每个勾股形勾 b 股 a 弦 c。求出角斜后，易求圆径。从圆积减去外计地，得池积，由长方形面积公式便可求出池长、池阔了。这种方法显然比解三元方程组简便。

另外，李冶还在列方程时首创设辅助未知数的方法。第四十问中得到方程

-22.5x2-648x+23002=0

后，李冶为了使最高项系数的绝对值变为 1，便作如下变形(译文)： 设 y=22.5x，则上式变为

-y2-648y+517545=0。

开方，得所以

y=465，

x = 20 2 。

3

李冶称这种设辅助未知数的方法为连枝同体术。顾名思义，他是把辅助未知数看作与原方程连为一体的一个分枝。这种方法在代数学史上是有意义的，因为它提供了方程变形的一个有力工具。

此题的另一种解法是首先“立天元一为三个内池径”，这相当于设y=3x。李冶称此法为之分术，实际也是一种设辅助未知数的方法，也能起到简化方程的作用。依法演算，得

-2.5y2-216y+23002=0。

两种方法的区别在于：之分术把设辅助未知数的步骤放于题首，而连枝同体术把这一步骤用于方程变形。

《益古演段》的成书，为天元术的应用开辟了更为广阔的道路。砚坚称赞此书说：“颇晓十百，披而览之，如登坦途，前无滞碍。旁溪曲径， 自可纵横而通⋯⋯真学者之指南也。”《测圆海镜》是天元术的代表作， 而《益古演段》是普及天元术的杰作。两书相辅相成，互为表里，反映了作者既努力提高数学的一般化程度，又注意发挥其社会效益的精神。

李冶死后不久，天元术理论便经过二元术、三元术，迅速发展为朱世杰的四元术。如果说在李冶手中，天元术已成为参天大树，那么在李冶之后，这棵大树便在第二代数学家的培育下，结出了四元术的累累硕果。

纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模。他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟。据载， 钧州城的出纳“无规撮之误”。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官确实是难能可贵的。李冶在《敬斋古今■》中说：“好人难做须著力”， 又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照。他同情人民， 面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”。他一生热爱科学，追求自由，决不负辱求名。在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他虽是通儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”。当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把数学说成“九九贱技”。李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱熹的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”。

值得注意的是，李冶的思想深受道家影响。道家崇尚自然，这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的。老庄的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐， 亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？” (夷，黄帝臣名；夔，舜臣名。石，扁，均为古工匠名)这就是说，从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然规律(即“道”)来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。⋯⋯道之所在，圣人尊之” 联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。很明显，他认为数学这种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重。

李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷， 斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”李冶的这一思想， 也可以从老庄学说找到渊源。庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形。”老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵， 夫莫之命而常自然。”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。”

李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究。他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的工作。他的学生焦养直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。另外，他还善于去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深。”这些优良品质，都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因。

李冶时代，数学不受重视。但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而且致力于传徒授业，对学生循循善诱。后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之

至也。其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号)。李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念着。