纵横图

纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方。一般是 n 行 n 列，各行各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶。我国最早的纵横图， 当推汉代“九宫图”(图 1)。宋代理学家们把它与《周易》中的“河出图， 洛出书，圣人则之”联系起来，认为九宫图即天生的神物——洛书，是伏羲画八卦的依据，从而为这些有规律的数字蒙上了一层神秘色彩。

就在这种数字神秘主义气氛笼罩社会的时候，杨辉却在孜孜不倦地探索纵横图的构成规律。他以自己的研究成果，否定了纵横图的神秘性。《续古摘奇算法》上卷的大量纵横图表明，这种图形是有规律可循的。

杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法：“易换术曰，以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换⋯⋯后以内四角对换。”这便是构造四阶纵横图的一种方法(图 2)。在“总术”中，杨辉给出构造四阶纵横图的一般方法。第一步是“求积”，即求出每行或每列的数字之和应为多少。杨辉把前 16 个自然数当作一个等■图 1

差数列，用求和公式

S = n(a1 + a n )

2

求得 S=136，进而求得每行之数 34。第二步是“求等”，即设法使每行、每列的数字之和等于 34。“求等术曰：以子数分两行

一 二 三 四 五 六 七 八九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六

而二子皆等(十七)，又分为四行，而横行先等(三十四)，乃不易之数。却以此编排直行之数，使皆如元求一行之积(三十四)而止”。依此术，杨辉构造数字方阵如图 3，然后再“编排直行之数”。杨辉说：“绳墨既定， 则不患数之不及也。”意思是掌握了规律，就不难作出纵横图。

图 3

图 4 百子图

四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、

六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律。他的十阶纵横图叫百子图(图 4)，各行各列的数字之和均为 505。

杨辉的纵横图对后世深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图。