祖■

孔国平

祖■字景烁，又称祖■之。南朝齐、梁间人。生卒年不详，生活于公元 5—6 世纪。数学、天文学。

祖■是祖冲之的儿子，少传家业，勤奋好学。当他专心作学问时，甚至听不到外面的雷声。有一次，他在路上专心致志地思考问题，以至没看见迎面而来的仆射徐勉，一头撞在徐勉身上，“勉呼乃悟”。

祖■精通天文、数学，曾修订父亲的遗作大明历。从公元 504—510

年，他先后三次向梁政府建议修改历法，申明父亲的大明历能纠正何承天元嘉历中的差错。经过实际观测验证后，政府终于在 510 年采用了大明历。

祖■同他父亲一样，特别重视天文观测。他在嵩山(今河南登封)顶上设立八尺高的铜表(扁方形铜板条)，下面和一个石圭相连。石圭上开一个小槽，槽内注入清水，用以定平，起水准器的作用。他通过观测铜表正午的日影长短，测定纬度，进行种种天文研究。为了确定南北方位，他立一表叫“南表”，正午在南表的日影之末再立一表，称为“中表”，只要时间准确，二表指示的方向便是南北。夜间，他通过中表望北极星，于中表之北再立一“北表”，使中表和北表上的相应点与北极星正好在一条直线上。第二天中午，再根据三表的日影是否在一直线上来判断中表和北表的方向是否正好指向南北。他经过多次观测，结果都是否定的。他发现北极星并不在正北方，北极星与北天极(不动处)相差“一度有余”。这是一个重要的发现，从此打破了“北极星即天球北极”的错误观点。

在数学方面，祖■的主要贡献是在前人工作的基础上，求得正确的球体积公式并提出祖■原理。

西汉末年成书的《九章算术》中，已经解决了柱、锥、台等各种体积的计算问题。由于球体积比较难求，尚未找到正确公式。书中所载的球体

积算法，相当于V = 3 πR ³（R为球半径），误差太大，与准确公式相比

大了 6 倍。为了寻找正确的球体积公式，东汉科学家张衡设想一个边长

等于球径的立方体，把球装在里面，使它们正好相切。他想：若能求出立方体与内切球的体积之比，球体积问题便容易解决了。遗憾的是，他没有算出正确结果。

三国时代，数学家刘徽发现了一条重要原理：对于两个等高的立体，如果用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数。他利用这一原理(下称“刘徽原理”)证明了圆锥、圆台等旋转体的体积公式，然后便集中力量解决球体积问题。他发现了《九章算术》及张衡研究中的错误，也从张衡的研究方法受到启发。他打算把球放到另一个能计算体积的立体中去，以便通过刘徽原理得到球体积公式。他和张衡一样，作出球的外切立方体。但他没有停留在这一步，而是用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图 1)。这时球便被包含在两圆柱的公共部分，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公共部分，给它取名“牟合方盖”(以下简称方盖，图 2)。如果用一个平行于底面的平面去截立方体，则方盖的截面为正方形，而球截面是正方形的内切圆。刘徽知道正方形与内切圆面积之比为 4∶π，于是由刘徽原■

图 1 图 2

理得到球体积∶方盖体积=π∶4。只要求出方盖体积，整个问题就迎刃而解了。但刘徽始终未找到求方盖体积的途径，他最后写道：“以俟能言者”，表达了他解决这一问题的遗愿。

祖■便是一位“能言者”。他继承了刘徽的思想，并吸取了刘徽的教训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去方盖的部分。他利

用了图形的对称性，着重研究这部分的 8 ，称为“外棋”，相应的方盖

的 8 为“内棋”（图3），内棋与外棋共同构成小立方体，它是原立方

体的 8 （图4）。

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设球半径为 R，于高 h 处作平行于内棋底面的平面。显然，内棋截面是一个正方形，设它的边长为 a，则面积为 a2。由于内、外棋截面的和为R2，所以外棋截面为 R2-a2，由勾股定理得 R2-a2=h2(图 3 的三角形 EHO 中， EO=R，角 EHO 为直角)。这就是说外棋在高 h 处的截面积恰为 h2。祖■发现：如果作一个底和高都是 R 且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥(图 5)，则棱锥在高 h 处的截面也是 h2。他研究了各体积的关系，提出一条重要原理：“幂势既同，则积不容异。”其中“幂”是面积，“势”是关系，“积” 是体积。这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若对应处的截面积都相同，则两立体体积相等。(有些学者把“势”解释为“高”，“幂势既同”则解释为“等高处的截面积恒相等”，亦通。但恐非作者原意，因为在各种古代文献包括祖■的其他著述中，未曾发现把势作为“高度” 使用的例子。)这一原理被称为“祖■原理”。西方称它为“卡瓦列里原理”，因为 17 世纪的意大利数学家 B.卡瓦列里(Cavalieri)重新发现了这一原理。

根据祖■原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而棱

锥体积为 1 R ³，所以外棋体积也是 1 R³，内棋体积为R³ − 1 R³ = 2 R³，

3 3 2 3

方盖体积为8× 2 R³ = 16 R ³。祖■已经知道刘徽的“方盖与内切球体积

3 3

之比为 4∶π”的结论，所以立即得到正确的球体积公式：

V球 = π· 16 R³÷4 = 4 πR³

3 3

自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决，这是我国数学史上的一件大事。应该指出的是，这一成果也有祖冲之的功劳。他在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆(球)旧误，张衡述而弗改⋯⋯臣昔以暇日，撰正众谬。”可见他为解决球体积问题进行了有效的工作。

祖■与他父亲祖冲之的数学著述均已失传。据《隋书·律历志》载，祖冲之“所著之书名为《缀术》”，《旧唐书·经籍志》亦说《缀术》为祖冲之撰。但王孝通在《缉古算经序》中，则把《缀术》说成祖■所撰。现在已很难对该书的作者作出准确判断了。估计主要工作是祖冲之做的，祖■进行了补充和整理。现存《九章算术·少广》李淳风等注中所引祖■ “开立圆术”，应为《缀术》的组成部分。该书曾在唐代被列为数学教科书之一，由于内容深奥难懂，故学习年限最长。

祖■对建筑工程也有研究，因此被梁朝任命为掌管工匠和土木建筑的材官将军。公元 514 年，他奉梁武帝之命组织修筑浮山堰(今安徽凤阳)，企图堵住淮水，淹没被北魏占领的寿阳城(今山西寿阳)。他视察地形后，认为淮河里沙土松散，不适于筑堰，但梁武帝不听。经过一年多时间，浮

山堰勉强筑成了。公元 516 年秋天洪水泛滥，浮山堰崩溃，祖■因此获罪，被捕入狱，判了徒刑。

祖■刑满释放后，到梁武帝的儿子豫章王肖综手下做事。公元 525 年，肖综叛梁降魏，祖■成了魏军的俘虏，软禁在徐州的北魏王子元延明家中。北魏科学家信都芳了解祖■的科学水平，建议元延明对祖■以礼相待，并借此机会向祖■学习了许多科学知识。第二年，祖■被送还南朝。由于接连受到挫折，又到了晚年，他回南朝后便很少从事科学工作了，只是帮助目录学家阮孝绪编写过天文和数学书的目录。