1．垛积术

杨辉的垛积术，是在沈括隙积术的基础上发展起来的，置于《详解九章算法》的商功章。他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。例如方亭(正四棱台)体积为

V = h (a ² + b² + ab) 3

其中 a 为上底边长，b 为下底边长。

若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由 a×a 个球组成，以下各层的长、宽依次各增加 1 个球，共有 n 层，最下层(即下底)由b×b 个球组成，杨辉给出求方垛中物体总个数的公式如下：

S = n (a² + b² + ab + b − a ) 3 2

比较一下上面两式就会发现，后者与前者的区别在于小括号内多了一项

b − a

2 ，故杨辉把这项以外的式子称为“本法”。后者实际是一个二阶等

差级数求和公式，即

a ² + (a + 1)² + (a + 2) ² +

2 2 n 2 2

b - 1)(1)

+ (b - 1) + b = 3 (a + b + ab + 2

杨辉垛积术中属于级数求和的共有四个，其余三个是

1² + 2² + 3² + + n² = n 1

3 (n + 1)(n + 2), (2)

1 + 3 + 6 + 10 +

n(n + 1)

2

n

= 6 (n + 1)(n + 2), (3)

a·b + (a + 1)(b + 1) + (a + 2)(b + 2) + + (c − 1)(d − 1) + c·d

= n [(2b + d)·a + (2d + b)·c] + n (c − a)

(4)

6 6

除了(4)式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出。