二 根据平均分和标准差估计测验成绩

平均分是教学实际中应用最为普遍的一种统计量数，它是代表性最好的集中量数。平均分可以反映出学生集体测验成绩的平均水平。我们可以比较被评学生集体和参加测验的学生总体之间的平均分差异，学生集体的平均分越高，说明该集体的测验成绩越好。在根据学生集体分数的分布形态估计成绩时，我们并不知道该集体在总体中的位置；有了平均分数据之后，由于平均分总是位于分布曲线的中部，据此就可以判断被评学生集体在总体中的大致位置了，使我们对学生集体成绩的估计更加细致、全面些。

在教学中，有时需要根据几个学生集体的平均分计算其总平均分。我们不能只是简单地取几个平均分的平均值，而要依据下式：

X = n1 X1 + n2 X2 + + n k Xk

（式5 - 1）

ⁱ n + n + + n

1 2 k

式中，Xt 为总平均分； n1，n 2 ， ，nk 为各学生集体所含学生数； X1，X2 ， ，Xk 为各学生集体的平均分；k为被统计的学生集体的个数。

标准差是代表性最好的差异量数。标准差为我们估计分数的离散情况提

供了数量化指标。标准差越大，说明分数间的差异越大，分数分布越不均匀； 相反，标准差越小，说明分数分布越集中，大部分分数集中在平均分左右。因此，标准差越小，平均分对学生集体成绩的代表性越好；反之，标准差越大，平均分的代表性越差。可见，在用平均分描述学生集体成绩时，需要同时用标准差来说明平均分的代表性大小。

在教学中，有时需要根据几个学生集体的标准差计算其总标准差。我们同样不能只是简单地取几个标准差的平均值，而要依据下式：

k k

∑n S² + ∑n ( X − X ) ²

S = i=1 i=1

∑ni i =1

（式5 - 2）

式中，St 为总标准差；ni；为学生集体的人数；si 为学生集体的标准差；Xi 为学生集体的平均分；Xt 为总平均分；k为被统计的学生集体的个数。

在用平均分和标准差估计学生集体的成绩时，一般都同意平均分越高，

成绩越好。但是当标准差大小不同时，哪种情况学生集体的成绩更好呢？这就要看评价者所依据的教学质量标准是什么了。例如，有人认为，标准差大， 说明学生之间差异较大，可能会有成绩突出优秀的学生存在，有利于培养尖子；但也有人认为这样不利于面向全体学生组织教学，总有部分差生存在。标准差小，学生比较整齐，有利于班级教学，但也可能缺乏突出优秀的学生， 等等。根据不同的评价标准，就会得出不同的结论。这里要涉及教育观念等较深层次的问题，不拟在此展开讨论。