一 幼儿的加、减计算能力的发展

通过测试研究，幼儿的加、减计算能力的发展大体经历三个阶段。

（一）实物操作阶段（三—四）岁

三岁以下的幼儿，对加、减计算基本上还处于朦胧状态。测试结果表明， 让两岁半以下的幼儿先拿 1 个木块，再添上 1 个木块，问一共有几个木块， 只有 1/3 的儿童能做对。有 1/3 的儿童不会拿。或者先抓一把，再抓一把； 或者先拿 1 个然后又拿走，也说不出有几个。还有 1/3 的儿童在试者引导下能操作，但说不清一共有几个木块。如果让儿童先拿 1 个，再添上 2 个，则

只有 16.7%的儿童能够操作，但说不出一共是 3 个。有少数儿童还是先拿 1

个，再拿 1 个，说一共是 2 个。这表明这些幼儿只认识数目 2。减法的实物操作有类似的情况。超过两岁半而不满三岁的幼儿，83.3%能进行“1+1”“2-1”的实物操作，但当试者提出“1+2”“4-2”之类的实物操作要求时，能做对的很少。在出示需要用“1+1”或“2-1”计算的实际问题时，两岁半以下的幼儿基本上都不会做，而且 83.3%的幼儿的回答是加法问题和减法问题的得数相同。这表明这些幼儿在操作活动和数目的计算之间还没有建立起联系。超过两岁半而不满三岁的幼儿，对需用“1+1”计算的实际问题多数能正确回答，对需用“2-1”计算的实际问题则有半数能正确回答；但是当改换其他数目，如需用“2+2”“5-2”计算的实际问题则只有极少数能正确回答。这说明这个阶段的大多数幼儿，由于多次操作活动，开始形成牢固的个别联系， 即 1 个添上 1 个是 2 个，2 个拿走 1 个剩 1 个，但是还没有真正理解加减运算的一般含义。

三岁多的幼儿开始进入加、减法的实物操作阶段。这时约有半数幼儿能够进行 5 以内加、减法的实物操作，极少数幼儿还能进行 10 以内加、减法的实物操作。有些幼儿能够正确地进行操作，但是说错了得数。另外还有些幼儿由于点数实物的能力还很差，操作还有困难。开始有一部分幼儿通过操作初步理解加、减法的含义，即添上是加，拿走是减。由于多数幼儿能点数实物并说出计数的结果，因而有些幼儿不仅能口头回答得数，而且同时能用手指表示得数。例如，当提问“1 个添上 2 个是多少？”有些幼儿一边回答“3

① 本文引用的材料，主要是对北京市一所街道幼儿园和一所小学初入学的儿童，以及河北省万全、阳原两县农村儿童的调查结果，同时参考了全国九个地区 3—7 岁儿童数概念和运算能力发展的研究报告。

个”，一边伸出 3 个手指。这说明幼儿在做加减计算时在极大程度上需要实物操作的支持。如果让幼儿做抽象的数的计算，则 5 以内的加法有 37.4％的幼儿做对，5 以内的减法只有 20％的幼儿做对，而且做对的题目大多是重现他们生活经验中已经形成的联系，幼儿还不会利用实物操作的方法（如数手指）去解决他们不熟悉的计算题。至于结合儿童生活经验的实际问题，除了需用“1+1”“2-l”计算的题目大多数幼儿能口答以外，其他题目很少能做对。大多数幼儿不理解题意，随便说一个数来回答；甚至有的幼儿还没听完整个应用题，就说出一个得数。也有极少数幼儿能答对 5 以内的加、减法应用题，但是不明白是怎样算的。例如，提问一个三岁十个月的幼儿，“小明有 2 块糖，妈妈又给他 2 块，小明一共有几块糖？”在说对得数以后，问她是怎样想的，她说，“我知道几个数，1 加 1 等于 2，2 加 2 等于 4。”这说明三岁多幼儿还没有明确的选用运算方法和已知数的意识，有些幼儿虽然初步知道要用加法或减法计算，但是还不会根据题意选择已知数，于是往往把自己所会的加法算式都说出来，做为回答，出现对刺激的反应的泛化现象。

（二）半具体半抽象阶段（四—六岁）

这一阶段幼儿计算能力的发展有以下几个特点：

1. 幼儿完全掌握了 5 以内加、减法的实物操作，大多数掌握了 10 以内加、减法的实物操作。通过实物操作大多数幼儿初步理解加、减法运算的含义。

2. 能够进行一些抽象数目的加、减计算，但一般还离不开具体的实物操作，出现大量的扳手指的现象。同三岁多的幼儿相比，应该说这是一个很大的进步。因为三岁多的幼儿还没有完全掌握用实物计算的方法，还没有学会利用手指进行计算。在测试中，令三岁多幼儿用手指算，大多数都不会。例如，让三岁七个月的女孩伸指算 3 个添上 2 个是多少，她右手伸 3 个手指，

左手伸 1 个手指；算 6 个添上 3 个是多少，就不会伸手指了。让三岁十一个

月的男孩算 5 个减去 3 个是多少，他先答“6”。再让他伸指算，他先错误地

伸 4 个手指，而且不会去掉 3 个。但是四岁多的幼儿，由于大都有了利用实物计算的能力，有些幼儿开始能把用实物计算的方法应用于抽象数目的计算中去。测试结果表明，5 以内的加、减法，很多幼儿不需用手指就可以算出得数；5 以上 10 以内的加、减法，四岁多的幼儿基本会用手指计算的只占 33

％左右，而五岁多的幼儿基本会用手指计算的达 75％左右。但是能用手指计算 20 以内的加、减法的仍占少数，约占 25％，而且大多数是五岁半以上的儿童。这些幼儿在用手指算 20 以内的进位加法时，也明显地反映出半具体半

抽象的特点。例如，让一个五岁八个月的女孩算“8+4”，她先伸出8 个手指，

然后看着手指接着数 4 个数，说得“12”；另一个五岁九个月的女孩，采取另外一种方法，她伸出 4 个手指表示要加的 4，然后看着手指点数 9、10、11、12，说得“12”。

1. 口头解答加、减法应用题能力有较大发展。四、五岁的幼儿绝大多数能口头解答 5 以内加、减法应用题，一半左右能口头解答 10 以内加、减法应用题。这与幼儿掌握了用实物计算加、减法有密切的联系。在成人教育的影响下，幼儿通过大量的用实物计算活动，一方面初步理解加、减法的含义， 另一方面逐步学会用实物（特别是手指）计算的方法，从而就为口头解答加、减法应用题创造了条件。测试结果表明，这个阶段的幼儿口头解答 5 以内加、减法应用题，正确率都高于相应范围的抽象数目的计算，有些幼儿做得还比较熟练。但是这不能说明幼儿对加、减法的含义和应用已有较深的理解，仍

说明这阶段幼儿的加、减法计算的半具体半抽象的特点，并在很大程度上是因为联系儿童日常生活的事物为儿童提供了具体的直观的表象。从以下的事实可以得到证明：（1）这个阶段的幼儿在操作活动中往往是用“添上”“去掉”等词语来表示“加”和“减”的概念的，当出示抽象数目的式题，如说“3 加 2”“5 减 3”时，很多幼儿还不懂“加”“减”的意思，甚至有用手

指计算加法的方法来计算减法。（2）有些幼儿不会做 5 以内加、减法的某几个式题，但是能够做类似的应用题，这在减法中尤为明显。例如，在五岁的幼儿中有 50％不会做式题“5-3”，其中三分之一的幼儿完全不懂“5-3”的意思，但是都能做对用“ 5-2”计算的应用题；其中一半幼儿在做式题“5- 3”时不会扳手指，但是做用“5-2”计算的应用题时却能用扳手指的方法做对了。这说明由于应用题给幼儿提供了计算活动的情境，使幼儿在头脑中产生实物计算的表象，借助表象并配合实物计算达到正确地计算出结果。（3） 在口头解答应用题时，大多数幼儿只能说出得数，而说不出加法或减法算式。如五岁多的幼儿能说出加法算式的只占 1/3，能说出减法算式的只有 8.3％。说明幼儿虽然能口头解答一些加、减法应用题，但仍处在直观的表象的阶段， 幼儿对于用加、减法算式来表示生活中的计算问题还没上升到概括性的认识。

另外一个值得注意的问题是，这个阶段的幼儿在抽象数目的计算中，一般都表现为加法的成绩明显优于减法的成绩。说明减法计算要比加法计算难。这与幼儿的心理发展有关。按照皮亚杰的观点，从心理学上讲，加法与减法是一种运算。因为作为一个运算，其特点之一是具有可逆的行动。加法作为一种可逆的运算，其本身就包括了它的逆运算——减法。但是在幼儿期， 还缺乏可逆性的运算能力。据测试，四五岁幼儿有 50％对提出的减法题做了加法。其中大多数是用手指算的。例如，算“3-1”，幼儿左手伸 3 个手指， 右手伸 1 个手指，然后合起来数，说“得 4”。少数幼儿不伸手指，直接按正序数数。例如，算“5-3”，一个幼儿按正序数 1、2、3、4、5、6，说“得6”。在口头解答减法应用题时，有些幼儿虽然说对了得数，但是当让他们解释怎样算的时候，往往说的是加法。例如，提出这样一道应用题，“小华有 5 块饼干，吃了 2 块，小华还剩几块饼干？”一个四岁八个月男孩回答，“因

为 3 块饼干加上 2 块饼干，吃了 2 块饼干。”一个四岁七个月女孩则回答，

“因为 3 加 1 等于 4， 4 加 1 等于 5。”（同时把 5 个手指和 3 个手指加起来。）这说明幼儿在思考减法应用题时，还不会直接用减法计算，而是用尝试法给减数添上几个凑成被减数，从而确定剩余的数。在成人看来这样想似乎是困难的，实际上这是幼儿向可逆行的运算能力发展的雏型，这样还为进一步认识加减法的运算关系做了具体的准备。这种情况在五、六岁的幼儿中也常看到。

（三）抽象数的加、减计算阶段（六—七岁）

这个阶段儿童开始进入抽象数的加、减计算，这时儿童的加、减计算能力有较快的发展，主要有以下几个特点：

1. 绝大多数儿童掌握了 5 以内的加、减法，多数能做 10 以内的加、减法，

少数能做 20 以内的进位加法和退位减法，甚至能做 100 以内比较容易的加、减法。

1. 依靠实物计算有所减少。特别是 5

   以内的加、减法，大多数儿童能够不费思索地答出得数，还需用手指计算的儿童不到 20％，这同四、五岁幼儿

相比已显著减少。10 以内的加、减法，遇到一些数目较大的计算，仍有约半数的儿童往往要用手指计算。至于 20 以内的加、减法，还有少量儿童不会用手指计算。经过教师的教学，大都能掌握计算的方法。

1. 有些儿童能够部分地或完全摆脱实物计算，进入抽象数的加、减计算。他们的推想方法是多种多样的。在做加法时主要采用以下几种方法：（1）在第一个加数后面接着数数。如

   8 加 4，有的儿童能从 8 起接着数 4 个数，得

到 12。（2）分组加。如 6 加 9，有的儿童想到 6 加 4 等于 10， 10 再加 5 等于 15。（3）利用熟悉的相同数加得的和来推算。如 4 加 3，有的儿童想出 4 加 4 等于 8，再减少 1 个，得 7。这表明这些儿童已初步理解整体与部分间的某种增减关系和变化规律。在做减法时主要采用以下几种方法：（1）倒着数数。如 15 减 8，从 15 起一个一个地倒数到 7。（2）利用加减关系。如 8

减 5，有些儿童能说出，“因为 5 加 3 等于 8， 8 减 5 就等于 3。”表明这些儿童已经具有可逆行的运算的能力。（3）利用已熟悉的减法来推算。如11 减 6，有些儿童说 10 减 6 等于 4，11 减 6 等于 5。这实际上也是利用了整体与部分间的增减关系和变化规律。以上这些推想方法，在一定程度上具有逻辑运算的性质，只是在儿童的头脑中还是直观的、具体的，还没有形成抽象概括，但是无疑为以后的进一步抽象概括打下了重要基础。在测试中也发现有些儿童对所给的题目能够正确答出得数，却说不出所用的推想方法，或者对 10 以内加、减法能说清楚，而对 20 以内加、减法就说不清楚。这表明这个阶段很多儿童对自己的思维还缺乏自我意识的能力。

这个阶段的儿童在做用加、减计算的应用题时，比前一阶段也有所发展。但是由于儿童对加、减法的概念主要是从合并、添加、去掉等方面来理解， 因此所能解答的应用题也主要限于这个范围之内的。至于求两数相差多少的应用题，儿童还很少理解。据研究①，五、六岁的幼儿理解合并、添加用加法， 去掉用减法，可达 90％以上，而理解求差需用减法的，只占 30％左右。