表 3 变换说法表示两个数量间关系的测试情况

注：五年级实验班是在教学两步应用题后测试的，六年级普通班是在教学两步应用题后又教学其他内容后测试的。

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的前两题属于基本型的横向变换。例如，由“梨的个数比桃多 4 ”

推出“梨的个数是桃的（ ）”，或反过来推理。这种变换的特点是，前后两个判断是等价的，而且都以同一个数量作标准（或单位“1”），因此学生比较容易理解，解答的正确率较高。但是也有不少学生答错，如上题填了

1

“ 4 ”。他们错误地把梨看作单位“1”，仿照整数应用题中的数量关系来

推想，从1 3 1 3

里减去 4 ，得 4 。这表明他们对梨的个数比桃多哪个数量的 4 ，

还没有真正理解。

后两题属于基本型的横向和逆向的复合变换。例如，第 3 题：“牛的头

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数比羊少 5 ，羊的头数比牛多（ ）。”这种变换难在不能从第一个判断直接

4

推出第二个判断，而需要经过中间的变换。即先推出牛的头数是羊的 5 （横

5

向变换），再推出羊的头数是牛的 4 （逆向变换），再推出羊的头数比牛多

1 。从测试结果看出，实验班的正确率较低，而普通班的正确率更低。这与

4

1

教材中缺少这方面的练习也有关系。主要错误有以下几种：①填了“ 5 ”。

这样的错误，实验班有 5.3％，普通班有 25.7％。这些学生把整数中比较两个数量的差（如甲比乙少 3，反过来乙比甲多 3）错误地类推到分数中来。

4

②填了“ 5 ”。这样的错误，实验班达13.2％，普通班达37.1％。这些学

生知道一个数量比另一个数量少几分之几，反推时不能按照整数的方法直接

4

推出，但是错把第一步推出的“牛的头数是羊的 5 ”当作“羊的头数比牛少

4 5

5 。”③填了“ 4 ”。这样的错误，实验班中占10.5％，普通班中占2.9% 。

4 5

这些学生从原来的判断先推出牛的头数是羊的 5 。又推出羊的头数是牛的 4 ，

5

却误认为就是羊的头数比牛多 4 。在测试后，实验班又进行一段练习，再抽

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人，仍有 3 不能正确回答，须经画图、提示，才能逐步

推算出来。

1. 根据所给的条件能否写出两个数量间的关系式。例如，“已知苹

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果的个数，桔子的个数比苹果多 6 ，写出：_ _ _ = 桔子的个数。”这种测试

题，也可以反映学生对分数应用题中数量关系的理解程度，同时也是解答分数应用题的必要基础。这项测试也是在一个五年级实验班和一个六年级普通班中进行的，测试前两个班都没有做过这样的练习。结果实验班的正确率为76％，普通班为 61.4％。由于实验班比较重视结合题意分析数量关系，正确率较高。在错误的答案中，有些是两个班共同

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出现的。如前面所说的题目，错写成“苹果的个数×桔子比苹果多的 6 = 桔

子的个数”，或“苹果×（苹果 + 1 ） = 桔子的个数”。也有些是普通班所

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特有的。例如在虚线上填“ 1 + 1 ”或“谁的量×谁的率”或“单位1×（单

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位 1+多的率）”等。这表明，普通班有些学生不会用所给的具体条件来表达数量间的关系，而是用统一的模式来套。他们采用这种方法也能解答一些分数应用题，但是一旦应用题的条件和叙述有了变化，他们就分析不清楚数量间的关系，导致解答的错误。

1. 两步计算的分数应用题，在分析数量关系时顺思考和逆思考的难易程度有不同，下面是实验班的一些两步分数应用题的测试结果。