国外小学的分数教学

在国外，特别是在欧美的一些国家的小学里，过去一直重视分数的教学。后来由于在现代科学技术中广泛使用小数，开始有人主张在小学应着重教小数，少教分数。在这以后，分数在小学数学教材中的地位和作用成为一个有争论的问题。为此，美国数学教师协会于八十年代初曾进行广泛的调查。据统计，80％以上的回答者认为，分数在实际中仍然有用，它是数学的基本概念，它还提供代数方程的解。因此大多数教师赞成小学还要教分数，只有 15

％的回答者赞成把分数推迟到初中去教。

目前，国外小学的分数教学主要有以下几个特点。

（一）简化分数的教学内容。如上所述，虽然大多数人肯定在小学有必要教分数，但是由于小数的应用越来越多，特别是电子计算机、计算器都用小数进行计算，而且分数也比较难学，所以比较一致地趋向于分数的教学内容尽量简化。目前，分数的分母多数不超过 10。如日本六年级上学期的一种数学课本中，两页分数计算题共有 83 道（大多是一步计算的式题），分母超过 10 的分数只有 15 个。苏联课本中分母超过 10 的分数较多一些，但是比六十年代初的课本已大大简化。分数四则混合运算式题也比较简单。如日本课本中多数是两步计算的，少数是三步计算的。美国课本中三步计算的式题更少，苏联五年级课本中多数是两、三步计算的，有少数四、五步计算的。分数应用题也比较简单，美、日等国的课本中，都不超过两步计算的。苏联课本中多数是两步计算的，有少数稍复杂的分数应用题，但是由于学过一元一次方程，学生可以用方程解。至于繁分数，除苏联外，日、英、美等国都不教。

（二）提早出现分数，并分散在各年级进行教学。过去，除了美国在小学一年级就出现几个最简单的分数以外，其它各国教学分数都比较晚，多数在三、四年级开始。数学教育现代化运动以后，很多国家（法国除外）都提

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早教学分数。例如英国、联邦德国都从一年级开始，先认识 2 、 4 等最简易

的分数；苏联从二年级开始，先出现分子是 1，分母不超过 10 的分数；日本从三年级开始（原从四年级开始），分数的分母也不超过 10。提早教学分数主要有以下几个原因：1.在儿童生活中常遇到简单的分数问题，如把一个整体（点心、糖果等）分成两半或平均分成四份（很多国家的语言中都有“一半”“一角”这两个词）。2.根据儿童心理的发展，应及时地使儿童获得分数的初步概念。据瑞士心理学家皮亚杰研究，六七岁儿童已能顺利地把一个整体分成两等份、三等份；有些儿童还初步理解整体的守恒，即把一个东西平均分成几份，再把这几份拼起来与原来的东西相等。3.提早引入分数，并反复出现，便于儿童顺利地逐步地掌握分数的概念和计算，减少学习分数的困难。4.有利于发展儿童的智力。分数所反映的是部分和整体之间的关系，而且与整数不同的是要用一对数来表示一个数，一个数作分子，一个数作分母。因此分数的概念比整数的概念更抽象。提早分数教学有助于发展儿童抽象思维能力。

（三）各国在分数的教学顺序上有某些相同点，也有一定的差异。分数的教学顺序是一个较复杂的问题，其中有分数内容本身的内在联系和易难顺序问题，也有和其他内容（如小数、约数和倍数，百分数等）的联系问题。

下面分别做些介绍：

关于分数和小数的编排顺序，一直是个有争论的问题。现在，由于一般都把小数看作十进分数，所以大多数国家都是先教分数的初步认识，然后教小数的初步认识，以后在分数计算有一定基础之上再教小数的计算，最后再教分数计算中一些较难的内容，如异分母分数加、减法和分数乘以、除以分数等。只有法国在四年级先教小数，直接从整数的十进制引入。
关于约数和倍数的知识安排，差异较大。数学教育现代化运动以前，欧美一些国家都认为这部分知识大多是不切实际的，因此只结合约分、通分简单地教一点极必需的知识（如公约数，公倍数）。只有苏联比较重视这一部分内容，专安排一章来教学。数学教育现代化运动以后，强调数的理论的教学，美国开始重视这部分内容，认为教学数的理论有其实际的意义，不仅最大公约数和最小公倍数在分数计算中用到，而且许多概念可为代数的学习提供直观的背景。有人还认为，学生通过对这部分知识的探索发现，可以使解决数学的和科学的问题的能力得到发展。现在的美国课本大都专门安排一个单元来教学数的理论，而不再与分数合并在一起，所教内容和我国的课本基本相同。日本的课本也把约数和倍数专门安排一个单元，但是不教最大公约数和最小公倍数。苏联仍然强调这部分知识的重要性，但是一度曾经把这部分知识分散在自然数和分数计算中。最近又有所改变，把数的整除特征仍放在自然数除法中，其余的内容则专门安排一个单元放在分数之前来教学。
关于百分数的安排，目前有两种编排方法。一种是不单安排一个单元。如苏联的课本，在小数除法后面教学百分数的初步概念和简单的计算问题，以后在分数除法后面再教求百分比。另一种是单安排一个单元。如美国课本，在分数以后教百分数，说明它是一个数与另一个数的比，并强调讲百分数在实际中的应用（包括折扣、银行利息、保险等）。日本课本的处理方法与美国的相仿，但实际应用问题较少。
关于分数内容本身的安排，由于分散在各年级，各国在顺序上、范围上有不少差异。但是，大都把分数加、减法划分为同分母分数加、减法和异分母分数加、减法两个阶段，把分数乘、除法划分为分数乘以、除以整数和分数乘以、除以分数两个阶段。而在苏联，分数乘、除法不分两个阶段。

（四）教学分数乘、除法应用题，大多联系分数乘法的意义以及乘除法的关系来说明如何确定算法。国外过去教这部分内容也有教学生死记硬套的

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方法。如在日本，教学生看到题里有“××の 3 ”（即××の 3 に），就用

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乘法；看到题里有“××的 3 ”（即相当于××的 3 ），就用除法。以后

对这种教法进行了批评。现在教分数乘法应用题，一般都联系乘以分数的意义。日本还把求一个数的几倍或几又几分之几倍和求一个数的几分之一联系起来。教分数除法应用题一般都用方程解。

（五）注意通过一些游戏来巩固分数的概念，熟练分数运算的技巧，并激发儿童学习分数的兴趣。这里举两个例子。

用以巩固分数初步概念的游戏：用厚纸做一个大的正方形（约 30cm

×30cm），再做一些长方形和正方形，它们的面积分别是大正方形的 4 、

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8 、 6 、16 、 3 、 12 （每种可以做3～4个），并且涂上不同颜色。另外

用木头做一个小正方体，每个面上写上述分数中的一个。玩的时候，每个学生发一套正方形和长方形。一个人先投小正方体，看上面的分数是几分之几，就找出相应的长方形或正方形，铺放在自己的大正方形上。这样轮流投小正方体，并根据出现的分数铺放相应的图形。谁先铺满大正方形就算优胜。

用以使分数计算熟练的游戏：在厚纸上画出如下的方格图，每个方格

里写一个分数。另外做一些分数卡片，每张卡片可以写上运算符号，如“

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+ 2 ”“ - 3 ” （也可以不写运算符号，而根据学习的进度临时确定进行

哪种运算）。可以三、四个人一起玩。每人先拿一个棋子（或石子、纸片）

放在“开始”的格里。然后一个人先翻一张卡片，如是“ + 4 ”，就把它和

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格里的第一个分数 2 相加。算对了，就从“开始”的一格走到 2 的格里；算

算错了不动。这样轮流做下去。谁先到达“优胜”格就算胜。

国外小学的分数教学 - 图1

（本文原载于《上海教育》1986 年第 4 期）