项 名 达

何 绍 庚

项名达 原名万准，字步莱，号梅侣。钱塘（今浙江杭州）人。清乾隆五十四年（1789 年）生；道光三十年元日（1850 年 2 月 12 日）卒。数学。

项名达祖籍安徽歙县。他出身于一个比较重视文化素养的盐商家庭， 自幼受到良好教育，广读博览，尤好历算。嘉庆二十一年（1816）成举人， 考授国子监学正，道光六年（1826）成进士，改官知县，不就职。应考进士期间，曾在京盘桓数年，与友人研讨数学，后返居故里。道光十七年

（1837）前，主讲苕南（余杭）。此后在杭州紫阳书院执教，并研究数学。道光二十六年（1846）冬，退职还家，集中精力撰著书稿。他一生著作繁富，“文辞杂著，无虑数十卷”。1861 年太平军攻占杭州时，旧居遇火焚毁，旧稿无存。他的数学著作虽也历经磨难，但还算幸运，终得以刊刻传世。项名达的主要数学著作有《象数一原》 6 卷（1849），《勾股六术》1 卷（1825），《三角和较术》1 卷（1843），《开诸乘方捷术》1 卷（1845），后三种曾单刊亦曾合刻为《下学庵算术》印行。

《象数一原》是项名达的数学代表作，其主要内容是论述三角函数幂级数展开式问题。他撰写此书时已年老病重，仅写成“整分起度弦矢率论”、“半分起度弦矢率论”、“零分起度弦矢率论”（2 卷）、“诸术通诠”、“诸术明变”，共 6 卷，其中卷四和卷六未能完稿。友人戴煦遵从他的遗愿于咸丰七年（1857）将全书详加研诵，校补完成，并为“椭圆求周术” 补作“图解”1 卷，因此现传本《象数一原》共 7 卷。在这部著作中，项名达继承和发展董■诚的方法，把割圆连比例、三角堆及推广的二项式定理系数表联系起来，成功地解决了董■诚弦矢公式推导中的堆积何以有倍

分无析分，倍分中弦率又何以有奇分无偶分等问题，创立了下列两个公式： 设 Cn 和 Cm 分别为圆内某弧 c 的 n 倍和 m 倍弧长，vn 和 vm 分别为相应的中

矢，r 为圆半径，则有

n n(m² - n² ) ₃

Cn = m cm + 4·3！m³r ² cm

n(m ² − n ² )(9m² − n ² ) ₅

＋

n2

vn = m2

4² ·5!m⁵r ⁴

n² (m² − n² )

+ 4！m4 r (2vm

cm + ，

)2

n² ( m² − n ² )(4m² − n²)

＋ 6！m ⁶r ²

+ (2v m ) + 。

由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董■诚的四个公式，其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式，正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率π的无穷级数表达式等。

项名达的另一项成就是得到求椭圆周长的公式

1 ₂ 1² ·3 ₄ 1² ·3² ·5 ₆

p = 2πa（1 - 22 e - 22 ·42 e - 22 ·42 ·62 e - ），

式中P为椭圆周长，e为椭圆离心率，e ² =

a ² - b²

a2

，a与b为椭圆半长轴与半

短轴。这是中国在二次曲线研究方面最早的重要成果。他还据此推出圆周率倒数公式：

1 = 1

1 1² ·3 1² ·3² ·5

(1 − − − − )。

π 2 2² 2² ·4² 2² ·4² ·6²

项名达与戴煦还共同讨论求二顶式 n 次根的简法，在《开诸乘方捷术》中创立了逐次逼近法以及用来开 n 次方的递推公式

na ⁿ a

k = k

(n − 1)aⁿ + A

ak+1

（当a ⁿ 稍大于A时，k = 1，2，3， ），

nA

(n + 1)A - aⁿ

= ak

ak +1

（当a ⁿ 稍小于A时，k = 1，2，3， ）。

按上述公式逐次求得的a k+1，即为ⁿ A的准确到不同程度的近似值。他1

还提出了幂指数为 n 的二项式定理，戴煦后来在此基础上发现有理指数幂

二项式定理。《勾股六术》与《三角和较术》内容浅显易懂，是项名达为初学者撰写的数学入门书。在这两卷书中，对于勾股形、平面三角形及球面三角形的各边及其和、差的互求关系，做了较系统的分类与总结。

项名达在哲学思想上崇尚陆王心学，取法于罗洪先和罗汝芳，主静， 甘淡泊，提倡致良知。他一生淡于功名利禄，乐于教授生徒，尤其醉心于研究数学，几乎达到了废寝忘食的地步。他的一位朋友形容他“时虽寒暑饥渴不暇顾，苟有得，则欣然意适，若无可喻于人”。在数学思想上，项名达主张中西术“须一体视之，不可有门户之见”。他认为研究数学最可贵的就是要有创造精神，要能够“推见本原，融会以通其变，竟古人未竟之绪，而发古人未发之藏耳”。从根本上说，他所追求的目标是具有一般性和抽象性的结果，这在推导二项展开式，弦矢公式及椭圆周长公式的思路和方法上都有所体现，并在不少方面接近了微积分学。他的关于多维几何体的想法，甚至可以说超越了所处的时代。项名达是一位学识渊博的学者，很受当时学术界，特别是数学界的敬重。他与许多数学家都相友善， 尤其与戴煦是忘年交。他的学生夏鸾翔也是一位著名数学家。晚清时期最

负盛名的数学家如李善兰、华蘅芳等都曾对项名达的工作给予高度的评价。