《四元玉鉴》

与《算学启蒙》相比，《四元玉鉴》则可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著。全书共分 3 卷，24 门，288 问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中

四元的问题（需设立四个未知数者）有 7 问（“四象朝元”6 问，“假令四草”1 问）；

三元者 13 问（“三才变通”11 问，“或问歌彖”和“假令四草”各 1 问）；

二元者 36 问（“两仪合辙”12 问，“左右逢元”21 问，“或问歌彖” 2 问，“假令四草”1 问）；

一元者 232 问（其余各问皆为一元）。

可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就。

《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。

《四元玉鉴》一书的流传和《算学启蒙》一样，也曾几经波折。这部1303 年初版的著作，在 15 和 16 两个世纪都还可以找到它流传的线索。吴敬所著《九章算法比类大全》（1450）中的一些算题，和《四元玉鉴》中的算题完全相同或部分相同。顾应祥在其所著《孤矢算术》序言（1552） 中写道：“孤矢一术，古今算法载着绝少，⋯⋯《四元玉鉴》所载数条。” 周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤” 列有“松庭《四元玉鉴》”。可见顾周二人都曾读到过《四元玉鉴》。清初黄虞稷（1618—1683）《千顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”。卷数不符。梅■成《赤水遗珍》（1761）中曾引用过《四元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传。

乾隆三十七年（1772）开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱世杰的著作并未被收入。阮元、李锐等人编纂《畴人传》时

（1799）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书， 呈入《四库全书》，并把抄本交李锐核算（未校完），后由何元锡按此抄本刻印。这是 1303 年《四元玉鉴》初版以来的第一个重刻本。《四元玉鉴》被重新“发现”之后，引起了当时许多学者的注意，如李锐（1768—1817）、沈钦裴（1829 年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士琳

（1789—1853）、戴煦（1805—1860）等人，都进行过研究。其中，以沈钦裴和罗士琳二人的工作最为突出。

1839 年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书，影响广泛。罗氏对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题都作了细草。但是他对此书关键问题（四元消法和级数求和）的理解，尚有需进一步研究者。与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心的研究， 每题也作了细草，经对比，沈氏《细草》比罗氏《细草》要更符合朱世杰原意。沈氏《细草》仅有两种抄本传世（其中一种是全本），现均收藏于北京图书馆。

清代数学家李善兰曾著有《四元解》（1845），但此书是作者以已意解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大。其后陈棠著《四元消法简易草》（1899），卷末附有“假令四草”的“补正草”，对理解朱世杰四元术是有帮助的。

日本数学史家三上义夫在其所著《中国及日本数学之发展》（The development of mathematics in China and Japan，1913）一书中将《四元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹（E.L.Konantz）和赫师慎（L.Van Heé） 分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字。1977 年华裔新西兰人谢元祚（J.Hoe）将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元玉鉴》的论文。

朱世杰的数学成就可简述如下：