董 ■ 诚

李兆华

董■诚字方立。江苏阳湖（今常州）人。清乾隆五十六年五月二十日（1791 年 6 月 21 日）生；道光三年七月二十八日（1823 年 9 月 2 日）卒。数学。

董■诚少时正值家道中落，常为衣食奔走。1817 年，其兄董基诚中进士，董■诚随兄客居北京，境遇有所好转。1808 年，董■诚始与同里张惠言之子张成孙共同研治经史、数学，历时二载。此后八九年便是“足迹半天下”的谋生生涯。所到之处，山川形势，采览所及，历历志之，学识得以长进。1811 年，赴陕西途出凤台（今安徽寿县）与李兆洛相识。1814 年，与其兄及张成孙同游青浦（今上海青浦县），历时一载。1815 年，开始地理学的研究。1818 年客居北京。是年，中顺天乡试。以后则屡试不第。居京之后，其主要精力已转向数学研究与著述。董■诚于贫困之中“特善深沉之思”，年华不永而才华出众。所撰游陕西成华山神庙赋一时传诵，数学、历法、地理等方面亦皆有作品传世。董基诚将其遗稿选编为《董方立遗书》9 种 16 卷。今通行者有同治八年董方立之子贻清成都翻刻本等版本，计有《割圆连比例图解》 3 卷（1819），《椭圆求周术》 1 卷（1821），

《斜弧三边求角补术》 1 卷（1821），《垛积求积术》1 卷（1821），《三统术衍补》1 卷，《水经注图说残稿》4 卷（约 1815 年），《文甲集》2 卷，《文乙集》2 卷，《兰石词》1 卷。

董■诚的主要成就在数学方面，《割圆连比例图解》3 卷为其代表作。自法国人杜德美（p.Jartoux，1668—1720）将π、sinx、versx 等三个幂级数展开式传入中国之后，幂级数的研究遂成为中国数学一个相当活跃的研究领域。梅■成《赤水遗珍》最先记载杜氏三术。明安图另创六术并以

《数理精蕴》下编卷十六介绍的连比例四率法为基本方法对九术予以推导。明氏的工作由其弟子陈际新于 1774 年整理成《割圆密率捷法》4 卷并于 1839 年出版。出版之前，该书已有少数抄本流传而通常所能见到的只是梅氏所载三术。董■诚认为，梅氏所载“语焉不详，罕通其故”，欲另创通法，而“覃精累年，迄无所得”。其时，董■诚客居北京，常与秀水朱鸿讨论数学。1819 年春，朱鸿以九术抄本出示董■诚，“九术之外，别无图说”。据此，董■诚“反复寻绎，究其立法之原”，成《割圆连比例图

解》3 卷。该书主要结果为“有通弦，求通弧加倍几分之通弦”，“有矢，求通弧加倍几分之矢”，“有通弦，求几分通弧之一通弦”，“有矢，求几分通弧之一矢”等四个展开式。用现代符号可记为

l 2n−1 = (2n − 1)l −

(2n − 1)[(2n − 1) ² − 1² ]

3！4r ²

(2n − 1)[(2n − 1)² − 1² ][(2n − 1) ² − 3² ]

5！4² r ⁴ ，

b2n = 2！ (2b) −

n² (n ² − 1² ) 4！r

(2b) ² +

+ n ² ( n² − 1² )( n² − 2² )

6！r ²

(2b) ³ − ，

l = ( l 2n−1 ) +

2n − 1

[(2n − 1)² − 1]

3！4r ²

( l 2n−1 ) 3 +

2n − 1

+ [(2n − 1) ² − 1][9(2n − 1) ² − 1]

l 2n−1 5

5！4

2 r 4

( ) + ，

2n − 1

b = 1 2！

( 2b2n ) +

(n² − 1² )

4！r

( 2b2n ) ² +

+ (n² − 1² )(4n ² − 1² )

6！r ²

( 2b 2n ) ³ + ，

其中 l 为通弦，l2n-1 为倍分弦，b 为矢，b2n 为倍分矢，r 为圆半径。董■ 诚以连比例四率法并结合中国传统数学的垛积求积术求得前两式，又以级数回求法得后两式。

《割圆连比例图解》3 卷在明安图的工作之后而在项名达与徐有壬的工作之前，有继往开来之功。董氏四术为明氏九术的“立法之原”，即由此四术可推得明氏九术。项名达《象数一原》（1843）将此四术精确化并概括为二术。徐有壬由此四术导出大小弦互求，大小矢互求四术，进而给出大小八线互求十八术，共二十二术，使得三角函数的幂级数展开式大体完备。