戴 煦

李 兆 华

戴煦 字鄂士，号鹤墅，又号仲乙。浙江钱塘（今杭州）人。清嘉庆十年五月十四月（1805 年 6 月 11 日）生；咸丰十年三月一日（1860 年 3

月 22 日）卒。数学。

戴煦祖籍安徽休宁，明季迁居钱塘。其父戴道峻有子三人，戴煦为次子。其兄戴熙道光十二年（1832）进士，官至兵部右侍郎，■文节。戴煦淡于进取，为人“狷介拔俗而平易近人”，时人称之为“知礼之君子”。戴煦读书兴趣非常广泛，数学、音律、文学、古文字、绘画、篆刻乃至堪舆无不精究，而以数学为其主要研究领域。15 岁，入杭州府学，以后便绝意进取开始数学研究与著述。青年时期与同里谢家禾共同研治数学。1826 年，完成《四元玉鉴细草》若干卷，项名达（1789—1850）读后即“命驾见过，引为忘年交”，遂成为终生的学术挚友。中年以后，戴煦进入了数学创作的兴旺时期。1837 年，校刊谢家禾《谢■堂算学三种》。自 1845

年至 1852 年，凡八易寒暑，共成数学著作 4 种 9 卷总名《求表捷术》。其间与项名达学术交往频繁，两人“共定开方捷术”。1845 年、1846 年，项氏分别为戴氏《对数简法》、《续对数简法》作序。戴煦一生的最后几年中，声名日著，已可与董■诚（1791—1823）、项名达、李善兰（1811— 1882）等人相提并论。1851 年，与李善兰相识，互相讨论《对数探源》

（1845）、《弧矢启秘》（1845）及未完稿《外切密率》等书的内容。1854 年，英国教士艾约瑟（J．Edkins，1823—1905）慕名求见，戴煦以“中外殊俗异礼”托故辞之。1855 年，与徐有壬（1800—1860）相识。徐氏于 1857

年为《续对数简法》作跋。受项名达之嘱，戴氏于 1857 年为之校补《象数一原》6 卷，并补《椭圆求周术图解》1 卷，使成完璧。1860 年 3 月 19 日， 太平天国军攻克杭州，其兄戴熙于 3 月 21 日自尽。是夜，戴煦随兄自尽。著作有《重差图说》若干卷，《勾股和较集成》1 卷，《四元玉鉴细草》若干卷，《割圆捷法》1 卷，《庄子内篇顺文》1 卷，《陶渊明集集注》10 卷，《戴氏泉谱》6 卷，《鹤墅诗文草》若干卷，《元空秘旨》1 卷，均未刊行。《音分古义》2 卷附 1 卷（1854），有光绪十二年刊本，《求表捷术》4 种 9 卷，有粤雅堂丛书本等版本。

《求表捷术》4 种 9 卷，计有《对数简法》2 卷（1845）、《续对数简法》1 卷（1846）、《外切密率》4 卷（1852）、《假数测圆》2 卷（1852）， 为戴煦的代表作。前二种论对数表造法，第三种论三角函数表造法，第四种论三角函数对数表造法。其中给出，指数为任意实数的二项式展开式， 对数展开式及三角函数对数展开式。戴煦之前，造对数表的主要方法是《数

理精蕴》（1723）下编卷三十八给出的递次开方法。该法系由

a( 1/2 n ) − 1 1

= ，

或

lga = 2n M(a(1/2 n ) − 1)

lg a (1/2 n)

M

（ *）

式中 M 称为对数根，今称为对数模。令 a=10，n=54，即将 10 开平方 54 次， 其对数折半 54 次，得 M=0.4342944819。于是，对任意 a＞0 由（*）求得lga。这种方法的严重缺欠是开方运算浩繁。一般说来，需要将 a 开

平方十几次乃至几十次才能求得合乎造表要求的值（a （1/2n ） - 1）。诚如戴煦所说：“布算极繁，甚至经旬累月而不能竟求一数。”有鉴于此，戴氏与 项名达共同研究给出

（1+x）±(1/n)， （1）

（1+x）±n （2）

的展开式，其中|x|＜1，n 为正整数。戴氏还进一步讨论了 n 有“奇零小余”的情形，即由（1），（2）推论出

（1+x）±(q/p)， （3）

（1+x）±r （4）

的展开式，其中 p，q 为正整数，r 为正无理数。这相当于给出

(1 + x)a

= 1 + ax + a(a − 1) x2 + ，

2！

(5)

其中|x|＜1，α为任意实数。戴煦又将（*）推广为

lim

n→∞

a( 1/2 m ) − 1 lg a (1/2n )

= lim

a→∞

(1 + x) a − 1 1

lg(1 + x) a M 。

(6)

进而由（5），（6）得到

x 2 x3

lg(1 + x) = M(x − + − )，

2 3

(7)

lg(1 + x) = M[( x

) + 1 ( x ) 2 + 1 (

x ) 3 +

]， (8)

1+ x

2 1 + x

3 1 + x

其中|x|＜1。在（8）式中令 101/2=1.0746078=1+x，得 M= 0.43429448。由此得对数表造法。戴煦又由（7）式及三角函数展开式

得到

α 2 2α 4 16α6 272α8

lg sec α = M(

+ + + +

)， (9)

2！ 4！ 6！ 8！

( π − α)2 2( π − α) 4 16( π − α)6

lg sin( π − α) = −M[ 2 + 2 + 2

2 2！ 4！

272( π − α) 8

+ 2 + ]。8！

6！

(10)

戴氏指出，同样的方法由（8）式还可得lgsecα， lg sin（ π - α）

2

的展开式各一。由此得三角函数对数表造法。此外，戴煦还引入假设对数即今之自然对数的概念并建立了它和常用对数的关系

1 =

lg(1+ x)

ln10

ln(1 + x) 。

(11)

由此，为对数表造法又辟新径。

戴煦的（5）至（11）式均属中国数学史上首创，代表了他所在时代中国数学研究水平的一个方面。戴煦之前，对数表造法虽已传入，但实用价值不高已如上述，三角函数对数表亦已传入，但精确性无法检验长期存疑。戴煦的工作从理论上彻底解决了这两个问题。