汪 莱

刘 钝

汪莱 字孝婴，号衡斋。安徽歙县人。清乾隆三十三年八月十七日（1768 年 9 月 27 日）生于安徽歙县澹淇（今占汜）；嘉庆十八年十一月十二日（1813

年 12 月 4 日）卒于安徽石埭（今太平）。数学。

汪莱祖上以“诗书继世，孝友传家”为训，其父汪昌早年失亲，家道中落，但博览群书，能诗善文，曾中过举，但未曾为官，撰有《静山堂诗文集》。汪莱秉承父学，6 岁能诗，14 岁入庠。汪莱幼时，歙县水、旱灾害不断，他除了攻读课业外，也常参加劳动，帮助家庭维持生计。家中常常一天只能吃上一顿饭，他就掘草根剥树皮充腹。乾隆五十三年（l788）， 汪昌去世。这年冬天，刚过 20 岁的汪莱只身来到苏州，在葑门外设馆谋生。

汪莱在苏州课馆三年，得以结识著名学者焦循，并开始研读天文、数学著作。他读的书有梅文鼎的《历算全书》和康熙敕编的《数理精蕴》等。乾隆五十七年（1792），汪莱返归故里，在家中自制浑天、简平等仪器并用它们来观测天象。同年撰成讨论第谷（TychoBrahe）宇宙模型的“覆载通几”和关于非十整进制算术的“参两算经”。嘉庆元年（1796），汪莱在歙县与同乡学友巴树谷讨论五星伏见及黄赤交变，进而涉及到球面三角的计算问题，汪莱将讨论的结果连同数年前在苏州写就的数篇论稿加以整理，成“弧三角形”书稿一卷。汪莱的另一同乡学友江玉曾向他请教以勾弦和及内容正方形边长求诸数的算法；嘉庆三年（1798）春夜，他与巴树谷“雨窗破寂，复拈此题，略言其趣”，又成“勾股形”书稿一卷。同年， 巴树谷将这两卷书稿合刻，取名《衡斋算学》，这就是汪莱数学著作的最早刊本。同年秋天，汪莱赴南京乡试不中，巴树谷适有失子之伤，二人移其情于数学问题，“演得三千言”，这就是后来成了《衡斋算学》第三册的“平圆形”。稿成之后汪莱曾手抄一部寄给焦循。嘉庆四年（1799）， 汪莱的亲戚汪应墉欲在游学途中“构难题数端往诘算学博士”，汪莱为他写了又一篇名为“弧三角形”的论文，连同旧著《递兼数理》合为一册， “以广赠算师”，这就是《衡斋算学》第四册。

嘉庆六年（1801），汪莱由歙县至扬州，在翰林秦恩复家教馆。秦氏所居五笥仙馆藏书颇丰，他家中也常有学者名流聚会或造访，汪莱在此读到了宋元算家秦九韶、李冶的著作，并得以与张敦仁、江藩、钱献之等学者相识。在与江藩共同讨论秦、李著作的基础上，撰成有关方程根之个数的《衡斋算学》第五册。同年秋天，汪莱离开扬州赴六安，途中写成论述弧矢关系的《衡斋算学》第六册。年底，汪延麟在扬州为他刊刻了六卷本的《衡斋算学》。

汪莱与李锐的第一次会面大约在嘉庆五年（1800）。汪莱于《衡斋算学》第五册书成后，曾分别送寄张敦仁和焦循，张氏“疑之，谓其过苦”； 焦氏则将书稿示于李锐，李氏于嘉庆七年（1802）读到后叹为“是卷穷幽极微，真算氏之最也”，遂作跋文一篇，文中将汪莱书中的诸例予以概括， 并称“计余与孝婴别已二载”。嘉庆八年（1803），汪莱自六安返扬州， 风闻李锐对其第五册算书有所讥评，遂到焦循家中问询，焦乃出示李锐所撰跋文，汪莱阅后欣然说道：“尚之固不我非也。”同时汪莱也指出了李锐所概括的第二例尚有语病。嘉庆九年（1804），张敦仁官任扬州知府， 李锐应召来当他的幕宾。其时注莱、焦循、凌廷堪、沈钦裴等人都在扬州， 彼此切磋学问，十分热闹。汪莱则进一步钻研代数方程理论，撰成《衡斋算学》第七册。至此，汪莱的主要数学著作都已完成。

嘉庆十年（1805），夏銮来到歙县任新安训导，到任后四处访贤。这年夏天，汪莱回乡，听说夏銮来找过他，立即前往谒见，两人“一见称莫逆，与语终日”，汪莱告辞后夏銮“目送之，曰‘此天下奇才也。’”一月后，汪莱经夏銮举荐参加岁试，成为廪生，后又被举荐为优行督学。夏銮又先后令门生胡培■、长子夏■、四子夏燮向汪莱学习数学。同年，汪莱在歙县读到阐述明代大统历法的《大统锦灵经》，作读书记一篇。嘉庆十一年（1806），汪莱再次去扬州课馆，当时焦循也在城中设馆，两人经常往来讨论数学问题。这年夏天，两江总督奉旨测量黄河新、旧入海口之商程，遂请汪莱主持完成了测算任务。嘉庆十二年（1807），汪莱在歙县参加考试，以优行第一的成绩考取了八旗官学教习。

到北京后，汪莱被选入国史馆参与纂修天文、时宪二志的工作。在此期间，他曾读到明安图的遗稿《割圆密率捷法》，对数年前自己在第六册算书中对杜德美（P.Jartoux，1668—1720）术的指摘有所检讨。国史馆的任务完成后，汪莱被派往石埭县任训导。

嘉庆十六年（1811），汪莱任石埭教谕，同年将其第七册算书单独付梓。诸生员中有喜爱数学者，他都予以教诲。在石埭任上三年，汪莱过着廉洁克己的生活。与外界学术交往的中断和自己的数学成果不能为当时所谓考据学家们所承认，使他心情十分沉郁，加上贫病袭扰，最终卒于任上。汪莱死后，家中萧然，囊无余资，石埭百姓出资送其归葬故里，埋于歙县梅岭之将军打坐坞。

汪莱去世时，长子光恒才 3 岁，次子光谦不足周月。汪光恒长大后有志继承父学，撰有《小恒算说》4 卷，可惜早卒。

汪莱生于清中乾嘉时代，其时学术风气以复古为宗旨，以考据相标榜。汪莱的家乡歙县，是清代皖派朴学的重要阵地。汪莱早年慕其同乡江永、戴震、金榜、程瑶田之学，“力通径史百家及推步历算之术”。及至青壮年，又长年寄居于苏、扬等当时的经济、文化中心，得以接触焦循、李锐等吴派朴学在天文、数学领域的杰出代表。皖、吴两派朴学大师虽然都提

倡籍历算以明经，但在对待当时所谓西学的态度上是有所区别的。这一点， 可以从钱大昕致戴震的一封信中看出端倪，信中直言不讳地批评戴震的老师江永“大率祖欧罗巴之说”，最终“则为西人所用而已”，进而诘问戴震：“当今学贯天下者莫如足下，而独推江无异辞，岂少习于江而特为之延誉耶？”在清朝政府对外采取闭关政策，对内大兴文字狱的政治气侯下， 这一指谪就显得更加咄咄逼人。汪莱本是一介寒儒，对于超出学术之外的纷争没有兴趣；但是由于他的出身和他在著作中习用所谓西学的数学表达方式，他的数学成就往往得不到时人的理解与赏识。

汪莱生前，《衡斋算学》已出过三种刊本，但是都不是足本。他去世后，夏銮十分关心他的遗作，嘱咐长子夏■与胡培■加以搜集整理，后成

《衡斋遗书》9 卷，但未能付梓。咸丰四年（1854），夏銮四子夏燮调任鄱阳（今江西波阳）知县，即从胡培■后人处访得《衡斋遗书》稿本，连同《衡斋算学》7 册一道，刊成《衡斋算学遗书》合刻本，汪莱的孙子汪廷栋参加了该书的校勘工作。《衡斋遗书》包括“覆载通几”1 卷，“参两算经”1 卷，“乐律逢源”l 卷，“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线右解”l 卷、“校正九章算术及戴氏订讹”1 卷、“今有录”1 卷，以及《衡斋文集》3 卷；《衡斋文集》中也收有多篇关于天文或数学的论文。

《衡斋算学》第一册和第四册之前半部分都是讨论球面三角形解法 的。当时传入的三角学，皆以与圆有关的线段来定义三角函数，所以又称“割圆八线”。这种定义应用于钝角或更大的角度，势必引起符号判断或一值对应多角的混乱，这在当时是一个相当麻烦的问题。梅文鼎、江永、

戴震、焦循都曾著书讨论，然而系统的论述却始于汪莱。在第一册算书中， 汪莱罗列了“弧角比例锐钝大小知不知”33 条、“正弧三角锐钝大小相从” 9 条以及“平三角形边角比例锐钝知不知”5 条，它们都是关于判断三角形是否存在唯一解的问题。举例来说，汪莱称：“原所知角锐，对边小，又所知角锐，审又所知角小于原所知角则所求对边小，若大于原所知角则不能定。”就是说，已知球面三角形 ABC 中的两个锐角 A、B 以及一对边 a， 求另一对边 b。若 B＜A，则 b＜a 且唯一确定；若 B＞A，则 b＞a 但不唯一确定，这就是“不知”或“不能定”。第四册算书的前半部分罗列出“弧三角形有无定限”40 条，则全是仅有一解的球面三角问题。其中有些条目不包括在第一册算书之内，例如他论述了球面三角形的以下性质：若 a＋b

＞π，则 c＜2π-（a+b）；若 a+b＜π，则 c＜（a+b)；c＞｜a—b｜等等。除此之外，第一册算书还专门论述了解球面三角形的“垂弧法”、“次形法”和“以量代算法”，这些内容基本上都是对梅文鼎《弧三角举要》的进一步阐释；但是汪莱的“量角度新法”利用极三角实现球面投影图内半周角度的“以量代算”，系对梅氏《环中黍尺》中球面三角图解法的一个发展。

《衡斋算学》第二册专门讨论已知勾股积与勾弦和求其他元素的勾股

和较术问题。梅■成在《数理精蕴》和《增删算法统宗》中曾提出过如下方法：设勾股形面积为 A，勾弦和为 K，则解三次方程

x³ −

K x2

2

4A ²

2K 0，

得 x 为勾。但是汪莱认为此题应有两个答案，“若问者暗执一形，则对者交盲两数”，遂另创“有两积相等、两勾弦和相等，求两勾股形各数”一法，其法须解三次方程

y³ + Ky²

(4A) ²

K 0，

得其正根 y 为两勾弦较的几何平均数，再解二次方程

z² − (K − y)z + y² = 0，

得二正根就是两个勾弦较。对于这一结果，当时的一些学者不能理解，认为汪莱的算法不如梅■成的简捷。其实这一工作中已蕴涵着对高次方程正根个数的探索，它与第一、四册算书中对球面三角形“知不知”的讨论一起，构成了汪莱方程论研究的先导。

汪莱最重要的数学贡献是他在方程论方面的工作。在研读秦九韶、李冶算书的时候，汪莱发现其中有些算题不只有一个解，而秦、李专以一数为答案，是“以不可知为知”，于是著《衡斋算学》第五册，罗列出三次以下各类方程共 96 个，逐一考察其“知不知”。这里的“知”与“不知”， 与第一册算书一脉相承，即指方程是否仅有一个正根。汪莱所使用的术语， 则沿用《数理精蕴》所介绍的“借根方法”，例如，他称：“有几真数， 多几根积，与几二乘方积相等⋯⋯可知”，即是说方程

ax ³ − cx − d = 0

仅有一个正根；又称：“有几真数，多几二乘方积，与几根积相等⋯⋯不可知”，即是说方程

ax ³ − cx + d = 0

不是仅有一个正根。这一工作后来启发了李锐对方程论的兴趣，汪、李二人在方程论领域的讨论极大地丰富了清代代数学研究的内容。在第五册算书中，汪莱还就三次方程

ax ³ − cx + d = 0

讨论了根与系数的关系。他指出，该方程如果有三个正根 x1，x2 和 X3，则

x + x + x

= b ，x x

• x x

• x x

= c ，

1 2 3

x1x2 x 3

a

= d ，

a

1 2 2 3 1 3 a

这是 F.韦达（Viéte）定理的一个特例。在《衡斋算学》第七册中，汪莱进一步钻研代数方程论，他首先指出：如果高次方程可以分解成若干个一次方程，那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。其次，他又专门讨论三项方程

xm=pxn+q=0（m＞n 且均为正整数,p,q 为正数）

存在正根的充分条件，他在书中列举了 18 个例子，由中可总结出上述方程有正根的条件为

(m − n)ρ

np n

q ≤ ·( ) m−n 。

m m

《衡斋算学》第三、六册，分别讨论“有全弧通弦求五分之一弧通弦” 和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”，即已知半径和弦长，求该弦所对应弧的部分之弦长问题。设以 r，a 分别表示半径、弦长，a5 和 a3 则分别表

示“五分之一弧通弦”和“三分之一弧通弦”，汪莱证得

1 a a ³ a ³

a = + a 5 − ⁵ 和 a = 3a 3 − ³ ，

5 5r ⁴ r ² r ²

当时汪莱尚未见到明安图的《割圆密率捷法》，因此矜为创获；及至见到明氏遗稿抄本，遂有悔少作之意。但汪莱所使用的几何方法，实为董方立《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等书推求分弧通弦与全弧通弦关系之工作的前驱。

《衡斋算学》第四册之后半部分名为“递兼数理”；“递兼”就是组合。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和材料，但是明确提出类似于今日的组合之定义并对组合性质予以讨论的则是汪莱的这篇“递兼数理”。他在开篇堂而皇之地宣称：“递兼之数，古所未发，今定推求之则。”他所推求的重要组合公式有：

m

∑ci

= 2 ⁿ − 1，

i=1

n m

n m

= cm−n ，

= m！ ，

n！(m − n)！

在论证最后一个公式时，汪莱借用了传统的垛积知识，试以C² 为例， 他说：“以一物为主而兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复兼先为主之物，故所得必少一数，由此递少遂成三角堆形。”就是说：从

m 个元素中每次取 2 个的组合数，可以看作先确定 1 个元素后将其与其余

元素相配，得组合数为（m-1）；再取第二个元素与不包括第一个元素的其余元素相配，得组合数（m-o—12);依此类推，组合数每次递少一数，

m−1

故得组合总数为∑i，这就是一个（平）三角堆，即公差为1的一阶等差级

i=1

数，其和为 1 m（m - -1）。同理，C³ ，C⁴ ， ，Cⁿ 则分别对应一个

2 m m m

二乘、三乘、⋯、（n-1）乘三角堆。一般三角堆的公式，早已为朱世杰所知；汪莱虽然没有读到未氏的《四元玉鉴》，他在“递兼数理”中也给出了“三角堆求积通法”，从而建立起了“递兼”与“垛积”这两类组合问

题之间的联系。

汪莱青年时代所著的“叁两算径”，则是中国数学史上第一次系统探讨非十整进制算术的论文。内中列出了二至九进制的乘法表，以九进制为例，其相应的乘法口诀为：“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、八六五三、八七六二、八八七—⋯⋯”，即 8×2=17，8×3=26，8×4=35， 8×5=44，8×6=53，8×7=62，8×8=71，⋯。关于二至九进制的除法，汪莱仅关心其商是整数或有限小数的情况，他称之为“法数合乃宜”；例如， 对于九进制，满足上述条件的“法”仅有一个 3，相应

的除法为： 1 = 0.3， 2 = 0.6， 3 = 1，其余任何数为“法”来除九进制的

3 3 3

数，都不可能得到整数或有限小数的商。在该文的最后，汪莱还指出了非十整进制算术并非向壁虚构的事物，他举例说：“造律者，因欲三分损益为法，故立数于九。近代窥天者，因以日十二时为法，故立天数三百六十度。”

《衡斋遗书》中还有许多有关数学的论著。“覆载通几”主要是阐释第谷体系的行星及日月运动规律的天文学著作，但其中诸图都赖几何定理加以说明，附录“四边形算法”则是汪莱对梅文鼎《三角法举要》（即《平三角举要》）的增补之作。“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线右解”， 系汪莱与同乡学者程瑶田讨论磬折重心位置的一篇论文，文中运用了杠杆原理。“校正九章算术及戴氏订讹”对《九章算术》及戴震所作的校勘提出了若干条意见，其中许多见解与李潢的《九章算术细草图说》不谋而合。

《衡斋文集》中还收有汪莱为张敦仁《缉古算径细草》及焦循《加减乘除释》两书所写的序。其余如关于音律的“乐律逢源”，关于经解的“千乘之国解”、“书尧典敬致解”，关于记赞天文仪器的“一方仪铭”、“多漏铭”，关于音韵学的“三声论”、“七音论”，也都具有较高的学术价值。

汪莱才高志大，因此行为举止颇近狂放，这在青年时代表现尤为突出。他的挚友江玉自号近迂子，汪莱赠诗称他：“才过八斗何卓荣，胸罗五车犹下学。著书非孔复非庄，行己不清亦不浊。我亦乡闾肆志人，感子车裘义非薄。⋯⋯兴来大叫鬼神惊，各陈悲壮泪纵横。仲尼尘埃子渊夭，茫茫大道将奚寻？且于风潇雨晦常相忆，看取高山石上青松质。”从中也可看出汪莱自己的志向与情趣。他在 30 岁那年赴乡试不第，自云“抱璞而泣”。其得意门生夏■描述他的外貌为“长身玉立，须眉秀发”；描绘他的气质为“性喜饮，酒酣耳热，平生■磊不平之气，往往慷慨悲歌，声音激越。”

汪莱是一个多才多艺的学者。除了数学和天文外，他也精通经史、释老、音韵、乐律、金石、训诂。他曾著有《十三经注疏正误》、《说文声类》等书，可惜都未能传下来。在石埭任上时，他闻知乡间老媪掘得两件铭文汉釜，遂以有限的薪俸加以收购珍藏。他死后，家人数度靠典当这两

件铜器维持生计。与大多数的封建社会士子一样，他在事业和生活都不顺遂的情况下，也会产生遁世的幻想，就是在“抱璞而泣”的那一年，他写了一部“天地万物为灰为不净经”，经文中当然绝无“■磊不平之气”了。他为焦循《加减乘除释》所写的序文则由《南华经》集萃而成，显示了一定的佛学修养。关于汪莱的超群记忆力，许多作者都留下了记载：夏■称他“读书过目辄记忆，《十三经注疏》几于能口举其辞”；焦循称他“天资敏绝，性能攻坚⋯⋯目一二过，默识静会，已洞悉其本原”；罗士琳也承认他“超异绝伦”。

然而汪莱的个人经历却是充满坎坷的。他自幼家贫，早年丧父，家中常常无以治炊，以至以草根、树皮为食，屡次应试均未及第，最终贫病交加，以 45 岁的盛年告别了人世。在他生前，除了焦循、李锐和夏銮等少数人外，多数学者都不能理解他的学术成就。汪莱撰成第五册算书后请张敦仁指正，张氏不但讥为“过苦”，后来还将自己的著作《开方补记》及明安图遗稿有意对他保密。时人并称汪莱与焦循、李锐为“谈天三友”，阮元却以另一个学者凌廷堪来取代汪莱。第五册算书本是与江藩共同讨论后之作，江氏却因汪莱的观点与李锐略有不合而捕风捉影地说他们“遂如寇仇，终身不相见”，进而批评汪莱“过矣”。罗士琳指责他“矫枉过正， 未免有失之于偏”。骆腾凤根本没有理解他考定方程正根的苦心，却影射他以“黯■之词以欺世”。种种事实表明，汪莱是被当时所谓正统的考据学家们拒之于门外的一个“异端”。究其社会历史原因，主要有两条：一是汪莱治学刻意求新；二是他不介意本西法言算，而这两条正有悖于当时的风尚。

焦循应该说是最有资格评论汪莱的学者了，他说“孝婴之学深妙入 微”，“所言皆人所未言与人所不能言”，此话或许道破了汪莱不为同代人所理解的天机。至于本西法言算，正是尊奉“西学中源”说的乾、嘉两朝学子们的大忌，汪莱遭到冷遇甚至攻击也就不足为怪了。焦循在比较汪莱和李锐的学术风格时有一个十分精辟的论断：“今世精九数者，推孝婴

及李尚之锐。尚之善言古人所已言，而阐发得其真；孝婴善言古人所未言， 而引申得其间。尚之精实如诗之有少陵也；孝婴超异，如诗之有太白也。” 把汪莱与诗仙李白相比，虽然不一定十分贴切，但也颇有助于说明汪莱在科学史上的位置，他是清代中叶最富有创造精神和独立人格的一位科学

家。”