数学结构教学模式

什么样的数学教学活动算得上是成功的，这个问题的答案始终带有鲜明的时代烙印。

在 50 年代中，通常认为只要把新旧知识之间的衔接点处理好，这堂课也就成功了。于是，一堂数学课的模式就定下来了：复习旧课，引入新课—— 概念讲解——例题分析——模仿练习。实际上，这里所强调的“衔接点”只是知识点之间的逻辑关系，属于纵向的一维联系。

自 60 年代起，数学课堂教学开始注重“知识块”的传授，于是有了单元教学实验。这种教学模式所强调的是每一个章（节）或者一个知识段内部的知识联系，即一个知识点与其所处的章节（知识单元）中其它知识之间的纵向与横向联系。显然，相对于先前的教学模式而言，它是一个进步，因为它对于知识间关系的考虑属于二维的——既有纵向联系，又有横向联系。但是， 这种教学模式所注重的仍然只是客体（相对于学生而言）自身内部的关联性， 还没有考虑到认识主体——学生自身在认识活动中所表现出来的整体性。

80 年代以来，人们相继提出了学生的数学认知结构的重要性。学生的数学学习是一种特殊的认识活动，学习的结果在很大程度上决定于他们的认识能力或智力，而认识能力的强弱又依赖于他们是否具有良好的认知结构。于是，完善学生的数学认知结构就成了提高学生数学学习水平的根本途径之一。怎样才能实现这一教学目的？南京师范大学数学系马复老师认为，应当采取一种“结构教学”的模式，即在数学教学活动中，不仅传授知识及知识间的联系，还要展示这些知识所反映出来的数学思想方法，同时，注重学生与知识之间的情感交流。简言之，是由知识，方法，情感所构成的一种三维的信息交流。具体说来，知识的指标，含有数学知识的内涵和不同数学知识之间的内在联系——包括纵向的与横向的联系，即数学知识结构的体现，方法的指标则包括在数学知识产生与发展过程中表现出来的数学思想方法和由此而形成的数学基本观念，即构造数学知识结构这一过程的体现；情感指标则偏重于学生心理活动中的非智力因素方面，它包含意向、动机、需要、兴趣等内涵。我们认为，这种结构之间三维（立体）的信息流通，将产生一种正向的整体效应，进而有利于完善学生的数学认知结构。从这个意义上说， 结构教学应当是我们所力图追求的一种数学教学模式。

常州市教研室主任杨裕前老师上的一堂平面几何引言课，可以作为“结构教学”的一个例证。杨老师面对的是初一学生，他们的平面几何认知水平仍停留在低级的直观认知阶段，而课本的几何知识结构却具有较强的逻辑性，形成较严密的演绎推理体系。显然，这两个结构之间不协调。如何使得两者之间产生一个自然的沟通渠道，从而使得信息交流得以畅通，这是平面几何教学的重要环节。杨老师的教学过程则达到了上述目的。

“我来自常州，在地图上，常州位于上海和南京的中点。”“自行车的轮子为什么一定是圆的？可以是三角形或正方形吗？”“杯子中装了一些水，想象一下，当你向杯中倒入一些油以后，在油与水之间是什么？”一连串的问题和说明，一方面使学生感受到几何学与生活的密切联系，产生一种亲切感，进而形成较强的学习兴趣；另一方面，又不露痕迹地展示了抽象的点、线、中点、面等概念的本质属性，巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间构筑了一个信息流通渠道。随后，学生在杨老师的指导下，兴致

勃勃地折纸——将正方形分为两个相等的部分。在探索具体折法的过程中， 他们逐渐认识到：只要过“中心”任意折一下（等于划一条线），就能够达到目的。这表明，在无数种折法可以等分正方形。于是学生对于对称中心、对称轴、全等、任意、无限等概念，有了直观的了解。而搭火柴游戏——拼正三角形，不仅使学生体验到数学思想方法的意义，还通过对以下问题的讨论，加深了对数学美的感受：在这两个图形（图 1—（1），图 1—（2））中， 你喜欢哪一个？大多数学生认为图 1—（1）美，因为它和谐、对称、完美。而有一个学生却回答：我更喜欢图 1—（2），理由是它不仅是对称的，而且更“经济”，13 根火柴拼出了 8 个正三角形，每个正三角形平均只用 13/8 根火柴（图 1—（1）是平均 2 根）。这表现出学生对于“数学美”的评价标准除了对称、和谐以外，又多了“简单性”这个指标，而这实实在在是“数学美”的一条标准。

在平面几何学习的过程中，学生的显著困难之一是“逻辑推理”的能力难以提高，而其中最初的难点在于树立“推理”的意识，初学几何的学生最习惯的是凭直观：它们看上去就是全等的，为什么还要证明？如何改变这种观念？杨老师用一对图形让学生辨别（见图 2）。

单凭视觉，学生的感受是：圆 O1 较圆 O2 小。事实上，圆 O1 与圆 O2 大小相同。于是，学生们自发地感受到不能过于“信赖”自己的眼睛，否则会“上当受骗”，从而初步认识到数学的证明是必须的。

以上教学过程表明：结构教学的特点是将数学思想方法与数学知识融为一体，并且时刻注意学生与知识间的情感交流，这将在学生的认识结构与几何知识结构之间开凿一条沟通的渠道，进而达到完善学生的数学认知结构的目的。