化圆为方问题：

给出一个半径为 r 的圆，其面积为πr²．

① 译者注：作者这里暗指的是一则有关倍立方问题的有趣的神话．传说公元前 5 世纪古希腊的雅典流行着一场瘟疫．人们为了消除这一灾难向神祈祷．神说：“要使病疫不流行，除非把神殿前的立方体香案的体积扩大一倍”．开始人们以为十分容易，只须把香案的各棱放大一倍就行．不料神灵大怒，疫势愈发不可收拾．人们只好再次向神灵顶礼膜拜，才知道新香案体积不等于原香案体积的两倍．这个传说的结局如何， 今天已无从推知，但这个古老的问题却从此流传了下来．

我们要求的是作出一个面积为πr² 的正方形．

x²＝πr ²，亦即x = πr．

由于π是一个超越数，它不可能通过有限步骤的有理运算和求方根的办法表示出来，从而只用圆规和直尺也不可能将一个圆化为等积的正方形．

虽然我们看到以上三个作图问题只用圆规和直尺是不可能作出的，然而人们却创造了不少解决它们的精巧方法和设计．后者对于激发数学思想的发展，同样起着重要的作用．尼科梅德斯蚌线、阿基米德螺线、希庇亚斯割圆曲线、圆锥曲线、三次曲线、四次曲线以及一些超越曲线，都发端于这古代三大作图问题的某些思考．