概率与π

数学家和其他科学家总是对π感到兴趣．但当它在《星际旅行》故事中竟挫败一台魔鬼计算机时，便又获得了完全新的崇拜者．π拥有若干桂冠—

—如它是圆的周长与其直径之比；它是超越数（一个不是整系数代数方程解的数）等等．

千百年来，人们总是试图把π算到小数后越来越多的位数．例如，阿基

米德通过增加圆内接多边形边数的方法，近乎准确地得出π的值介于 31 与

7

310 之间．

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在《圣经》和《编年史》中，π的值给出为 3．埃及数学家求出π的近似值为 3．16．公元 150 年，托勒密给出了π的估值为 3．1416．①

从理论上讲，阿基米德的近似算法可以无限地延伸下去．但随着微积分的发明，希腊人的方法便被舍弃．代之的是使用收敛数列、无穷乘积、连分数等来计算π的近似值，例如：

4

π = 12

1 + 32

2 + 52

2 + 72

2 + 2+Ο

计算π的最为稀奇的方法之一，要数 18 世纪法国的博物学家 C·蒲丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为 d 的平行线；一根长度小于 d 的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．

蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于 d，那么有利扔出的概率为 2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．

公元 1901 年，意大利数学家拉兹瑞尼作了 3408 次投针，给出π的值为

3．1415929——准确到小数后 6 位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针， 他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的 L·巴杰的质疑①．

在用概率方法计算π值中还要提到的是： R·查特在 1904 年发现，两

① 原注：见“对π实验的不实的计算”，J·玛多克，《自然杂志》1994 年 8 月 1 日，370 卷，第 323 页．

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个随意写出的数中，互素的概率为 π 2 ．

通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！