音乐的数学

自古以来，音乐和数学就有着关联．在中古时期，人们把音乐与算术、几何和天文同列为教育的课程．就连今天的电子计算机也始终跟音乐联系在一起．

乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方．在乐曲的稿中，我们可以找到拍号（4：4，3：4 或 1：4 等）、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等．谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里， 不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍．然而作曲家创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机地融合在一起．对一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符．

除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数、曲线、周期函数以及计算机科学等相关联．毕达哥拉斯的追随者们（公元前 585—400） 最先用比例把音乐和数学结合起来．他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度．他们还发现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出．事实上被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比．由增大成整数比的弦的长度，能够

产生全部的音阶．例如，从一根产生音C的弦开始，接着C的长度的 16 给出

15

B，C

6 A，C 4

的长度的 5 给出 的 3 给。

出G，C的 3 给出F．C的 8 给出E，C的 16 给出D，C的 2 给出低音 C．

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你可能感到惊奇，为什么平台钢琴有它特有的形状？实际上，许多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着．指数函数和它的曲线就是这样概念中的一种．一条指数曲线由形如 y=kx 的方程所描述，这里 k＞0．例如 y＝ 2x，其图象如下．

音乐的器械，无论是弦乐还是管乐，在它们的结构中都反映出指数曲线的形状．

对乐声本质的研究，在 19 世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰．他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和．每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别．

傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分．音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关．

很少有人既通晓数学又通晓音乐，这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功．数学的发现，即周期函数，是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓．许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图象，与这些乐器理想声音的图象相比

较然后加以改进的．电子音乐的忠实再生也是跟周期图象紧密联系着的．音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面，继续担任着同等重要的角色．