附录：

解答·答案·说明

• 第 9 页——三角形变为正方形：

• 第 17 页——麦粒与棋盘： 1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋⋯＋2⁶³ 1＋2＋4＋8＋16＋⋯

• 第 36 页——T 问题：

• 第 38 页——无穷旅店：

他决定将每个房间的居住者搬到房号是他现有房号两倍的房间里去．即第一号房间的客人去第二号房间，第二号房间的客人去第四号房间，第三号房间的客人去第六号房间，等等．这样一来，他空出了所有奇数房号的房间， 留给无限公共汽车运载来的旅客．

• 第 48 页——山姆·洛依德谜题：

从中心开始依以下所指的方向移动到相应的方格：

南西、南西、北东、北东、北东、南西、南西、南西、北西．

• 第 52 页——斐波那契的秘诀：

如果 a 和 b 表示头两项，则接下去的项为 a＋ b；a＋2b；2a＋3b；3a＋ 5b；5a＋8b；8a＋13b；13a＋21b；21a＋34b．易知，头十项的和为 55a＋88b， 它是第 7 项 5a＋8b 的 11 倍．

• 第 57 页——十个历史日期： 1879——爱因斯坦诞生； 1066——哈斯丁斯战争； 476—— 罗 马 的 陷 落 ； 1215——英国大宪章通过； 1455——古腾堡《圣经》印制； 563—— 浮 屠 佛 出 生 ； 1770—— 贝 多 芬 诞 生 ； 1969——人类登上月球； 1948—— 甘 地 被 暗 杀 ； 1776——美国独立宣言发表．

• 第 60 页——枕边问题之八： 卡洛尔的解析——

m=人数，

k=最后一个人（最穷的人）身上的先令数．

在一轮之后，每人都比原来少了一个先令，而移下去的一堆则有 m 个先令．k 轮之后，每个人少了 k 先令，此时最后一个人身上已无先令，他转下去的一堆含有 mk 先令．上述过程在以下情况下结束，即当最后一个人收到转来的这堆共含有（mk+m-1）先令．此时最后一个人的前一个人身上已无先令， 第一个人则有（m－2）先令．

第一个人与最后一个人是仅有的两个，其拥有先令数的比可能为 4：1 的相邻的人．这样，

要 么 mk＋m-1＝4（m-2）， 要么 4（mk＋m－1）＝m－2．

第一个方程给出mk = 3m－7，即k＝3 - 7 ，它除m = 7和k＝2之外没有

m

其他整数解．

第二个方程给出 4mk＝2－3m，它没有正整数解． 于是，问题的答案是：

7 个人；最后一人开初有 2 先令．

• 第 70 页——令人惊奇的跑道： 证明

跑道的面积是——πR²-πr²．这是大圆面积与小圆面积的差．

从69页图知，弦的长度为2 R² − r ² ．以此弦为直径的圆的面积为； π（R² －r ² ），此即πR² －πr ²

• 第 71 页——波斯人的马：

两匹水平放置的马，腹部对腹部；两匹垂直放置的马，背部对背部．

• 第 72 页——山姆·洛依德的驴：

• 第 120 页——阿基里斯与乌龟：

阿基里斯在111 1 米时赶上乌龟．如果比赛的路程比这短, 则乌龟胜; 如

9

果恰好等于上述的距离，则双方平分秋色；否则阿基里斯就要超过乌龟．

• 第 127 页——丢番图之谜： 设 n 代表丢番图活的岁数，则：

n + n n n

化简得：

6 12 + 7 + 5 + 2 + 4 = n

3

28 n = 9,

n = 84(岁)

• 第 140 页——棋盘问题：

不可能用多米诺牌覆盖题中差缺的棋盘．

一个多米诺牌必须占据一个白色和一个黑色的方格．由于两角拿掉的是同一种颜色的方格，这样必然会有白色或黑色的方格留下来．

• 第 144 页——1=2 的证明：

第 6 步出现除以零的情形．这是因为数零隐藏于表示式 b-a 之中，当 a

＝b 时表示式 b-a 等于零．

• 第 151 页——预料不到的考试的悖论：

考试不可能在星期五，因为它是可能举行考试的最后一天，如果在星期四还没有举行考试的话，那你就能推出星期五要考．但老师说过，在当天早上八点之前不可能知道考试日期，因此在星期五考试是不可能的．但这样一来星期四便成为可能举行考试的最后日期．然而考试也不可能在星期四．因为如果星期三没有考试的话，我们就知道考试将在星期四或星期五举行．但

从前面的论述可知道，星期五可以排除，这就意味着在星期三就已知道在星期四要进行考试，这是不可能的．现在星期三便成为最后可能考试的日子．但星期三也要排除，因为如果你在星期二还没有考试的话，便能断定在星期三要考．如此等等，根据同样的理由，全周的每一天都被排除．

• 第 163 页——农夫、狼、羊和白菜：

农夫首先将羊带过河，然后返回带狼过河．过河后把狼留下，而将羊带回到原先出发的地方．然后再把羊留在原地而把白菜带过河．再把白菜留在狼那边，自己返回．最后又一次把羊带过河，带到狼和白莱等着的地方．

• 第 168 页——九币谜题：

  • 第 180 页——木柴、水和谷物问题：

木柴、水和谷物问题在欧几里得平面是无解的（不管路多长），但女果把房子盖在环面或油煎圈饼表面上（如图所示），那么解答将是很简单的．

• 第 187 页——假币谜题： 只要称一次！

从第一堆银币中取一枚放在秤盘上，从第二堆银币中拿两枚放在秤盘上，从第三堆银币中拿三枚放在秤盘上，从第四堆银币中拿四枚放在秤盘上， 如此等等．如果其中没有假币，你能算出秤盘上的银币该有多重．因此，如果你发现秤盘上重了多少，就能确定哪一堆是假币，因为堆的序数与拿出的币数是一样的．例如，秤盘上比正常重了 4 克，那么第 4 堆必为假币，因为

你从这一堆中取出了 4 个银币放在秤盘上．

• 第 196 页——三人面墙问题：

离墙最远的那个人必然看到了两顶茶色的帽，或者一顶茶色的帽一顶黑色的帽．因为如果他看到的是两顶黑色的帽，便能知道自己戴的是茶色的帽．

中间那个人看到的必然是茶色的帽．因为如果他看到的是黑色的帽，他就能从第一个人的回答中知道自己必然戴着茶色的帽.因此面对墙的最前面的那个人便能推出自己只能戴着中间那个人看到的茶色的帽．

• 第 224 页——蜘蛛与苍蝇：

• 第 232 页——猴子与椰子： 79 个椰子．

令 n 代表原先椰子的数量．

1 8n − 65 ÷ 3 = 8n − 65 0

27

回想起n = 原先椰子的总数, 而

81

8n − 65

81

= f是第二天早上每个水手分到的

椰子数．让 f 从 1 开始连续地取整数值，可知要使 n 为整数的最小的 f 值为f＝7．此时 n＝79，

• 第 234 页——蜘蛛与螺线：

注意到蜘蛛移动后所形成的正方形尺寸不断缩小，但它永远留在原正方形内．由于每个蜘蛛走的路都与它右边的蜘蛛走的路相垂直，因而一个蜘蛛到达它右边的蜘蛛所花的时间，与右边的蜘蛛不动时该蜘蛛爬到的时间是一样的．这表明每只蜘蛛都爬行了 6 米，即 600 厘米．蜘蛛爬这段路需要 600

秒，即 10 分钟．