超限数

你说在下面的集合里各有多少个元素呢？

{a，b，c}？

{-1，5，6，4， 1}？

2

{ }？

如果你的回答是 3，5 和 0，那么实际上你所给出的就是这些集合的基数． 现在请问在以下集合里有多少个元素：

{1，2，3，4，5，⋯}？

如果你回答是一个无限的量，那么你的答案是不够明确的，因为存在着各种各样的无限的集合．事实上，上述无限集合的基数是被称为超限数的第一个数．

正如名称所暗示的那样，超限数（超越有限）是描述无限数量的一种“数”，它可以充分地描述一个无限集合．两个集合如果它们元素之间能够配成一一对应，不多也不少，那么我们就说这两个集合具有同样的基数。

例如：

{a，b，c，d}

| | | |

{1，2，3，4}

有基数 4，也就是在每个集合中含有 4 个元素． 集合 A={1，2，3，4，5，⋯，n，⋯}

| | | | | | 集合 B={1²，2²，3²，4²，5²，⋯，n²，⋯}

集合 A 和集合 B 有同样的基数，因为两个集合的元素之间能够如图所示形成一一对应．这里似乎出现一种自相矛盾的情形，集合 A 中显然含有非完全平方数，但它在配成一一对应的过程中却没有元素留下来．

19 世纪德国数学家康托（George Cantor，1845—1918）创造了一种适夫——希伯来字母表的第一个字母）作为无限集中元素的“数”．特别地，

自然数集={1，2，3，4，5，⋯，n，⋯}

非负整数集={0，1，2，3，4，5，⋯，n－1，⋯} 正整数集={+1，＋2，＋3，＋4，＋5，⋯，n，⋯}

负整数集={－1，－2，－3，－4，－5，⋯，－n，⋯} 整数集={⋯，－3，－2，－1，0，1，2，3，⋯}

有理数集．

（以上 n 代表整数）

下例显示了自然数集与非负整数集之间的一一对应的方法：

{1，2，3，4，5，⋯，n，⋯}自然数集

| | | | | |

{0，1，2，3，4，⋯， n－1，⋯}非负整数集自然数与正有理数之间的对应如下：

{1，2，3，4，5，6，7，8，9， }

| | | | | | | | |

1 2 1 1 2 3 4 3 2

{ , , , , , , , , ,Λ }

1 1 2 3 2 1 1 2 3

下表显示了在前面集合中有理数的位置顺序： 康托还发展了一种完整的超限数算术体系： 他还证明了

的点的基数．