概率与帕斯卡三角形

以下由六角砖构成的三角形，有一种独特的产生帕斯卡三角形的方式．球从顶部的贮罐下落，并通过六角形的障碍物抵达下方而收集起来．对于每个六角形，球向左或向右滚落有着相同的机会．如图所示，球滚落的机会是按帕斯卡三角形的数分配的．在底部收集到的球会呈示一种钟形的正态分布曲线．这种曲线可以用于诸如保险公司的比率设置，分子行为的科学研究，以及人口分布的宏观探索，等等．

拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827）把概率定义为：一个事件的发生数与该事件所有可能的总数的比．因此，当我们掷一枚硬币的时候，得到正面的概率为：

帕斯卡三角形可以用来计算不同的组合数和所有可能组合的总数．例如，在空中投掷四枚硬币，正反面可能的组合如下：

4 个正面——正正正正=1

3 个正面与 1 个反面——正正正反、正正反正、正反正正、反正正正=4

2 个正面与 2 个反面——正正反反、正反正反、反正正反、正反反正、反正反正、反反正正=6

1 个正面与 3 个反面——正反反反、反正反反、反反正反、反反反正=4

4 个反面——反反反反=1

在帕斯卡三角形中，从顶上往下数第四行所指的正是这些可能的结果—

—1，4，6，4，1．这些数的和即表示可能结果的总数=1＋4＋6＋4＋1＝16．于是，掷出 3 正 1 反的概率便是：

对于更大的组合，就帕斯卡三角形而言，只是一种乏味的延伸，但它却能应用于牛顿二项展开式．帕斯卡三角形包含了二项展开式（a＋b）ⁿ 的系数．例如，要找出（a＋b）³ 的系数，只要看帕斯卡三角形从顶行起的第 3 行（顶行作为零行，即（a＋b）⁰＝1）．在该行人们可以找到 1，3，3，1， 它正是我们要找的系数：

（a＋b）³＝1a³＋3a²b＋3ab²＋1b³ 一般的 n 次二项展开式可用帕斯卡三角形的第 n 行．