黄金矩形

黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象，其拓展远远超出了数学的范围，可见于艺术、建筑、自然界，甚至于广告．它的普及性并非偶然， 心理学测试表明，在矩形中黄金矩形最为令人赏心悦目．

公元前 5 世纪的古希腊建筑师已经晓得这种协调性的影响．巴特农神殿就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子．那时的古希腊人已经具有黄金均值及如何作它的知识，还知道如何近似于它以及如何用它来构造黄金矩形．黄金均值φ（phi）的读音，与古希腊著名雕塑家菲狄亚斯（Phidias）名字的头三个字母相同想来并非只是巧合．相信菲狄亚斯在他的作品中用了黄金均值和黄金矩形．既然毕达哥拉斯所处的那个社会能够选择五角星作为等级的一种记号，那么用φ表示黄金均值也就很难说与菲狄亚斯没有一点关系．

除了影响建筑之外，黄金矩形还出现在艺术中．在公元 1509 年 L·帕西欧里的《神奇的比例》一书中，达·芬奇为人体结构中的黄金均值作了图解．黄金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标志．A·丢勒、G·西雷特、P·曼诸利安、达·芬奇、S·达利、G·贝娄等人，都在他们的一些作品中用黄金矩形去创造富有生气的对称．

黄金矩形 - 图1从几何意义上讲，在给定线段 AC 上黄金均值①可以这样构成，在 AC 上取一点 B，使得

黄金矩形 - 图2

则|AB|为黄金均值，也以黄金分割、黄金比以及黄金比例等著称．

一条线段一旦分割出黄金均值，那么黄金矩形也就很容易通过以下步骤作出：

  1. 给定任一线段 AC，用 B 点将线段 AC 分割出一个黄金均值段，作正方形 ABED．

  2. 作 CF⊥AC．

  3. 延长射线 DE，使得线 DE 与 CF 交于 F 点． 则 ADN 是一个黄金矩形．

黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出，如下图所示：

  1. 作任意正方形 ABCD．

  2. 用线段 MN 将正方形平分为两半．

  3. 用圆规，以 N 为中心，以|CN|为半径作弧．

  4. 延长射线 AB 直至与以上的弧相交于 E 点．

  5. 延长射线 DC．

  6. 作线段 EF⊥AE，并令射线 DC 与 EF 交于 F 点． 则 ADFE 为一黄金矩形．

黄金矩形还能自我产生：从下面的黄金矩形 ABCD 出发，很容易通过画正

① 原注：确定黄金比值，人们必须解方程： 这里|AB|＝x，|AC|＝1，而|BC|＝1－x．黄金比|AC|/|AB|或|AB|/|BC|

方形 ABEF 的方法得到黄金矩形 ECDF．再通过画正方形 ECGH，容易构成黄金矩形 DGHF．这样的过程可以无限地继续下去．

用最后得到的无穷多个紧挨着的黄金矩形，可以作出另一种类型的等角螺线（也称对数螺线）．如下图用圆规在一系列黄金矩形中的各个正方形里， 画四分之一圆弧．这些弧便形成等角螺线的轮廓．