芝诺悸论——阿墓里斯与乌龟

悖论是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明，在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中，我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面，例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的，但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．

公元前 5 世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯①和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头 1000 米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快 10 倍．当比赛开始

的时候，阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟仍然前于他 100 米．当阿基里斯跑

了下一个 100 米时，乌龟依然前于他 10 米．

芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗？如果阿基里斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？

（见附录“阿基里斯与乌龟”的解答）