周长、面积和无穷数列

下图描画了无穷多个的三角形，其中每一个三角形都是由外接于它的三角形边的中点所构成．为了确定这些三角形周长的总和，我们先观察以下数列：

1 1 1 1 1 1 1

2 + + + + + + Λ

上面这些分数的和，可以通过观察如下这条标有数的线段而确定．

我们注意到，该数列每增添一个后继的分数，都使它们的和越来越接近于 1，然而决不会超过 1．于是我们可以得出这样的结论，这个数列以 1 作为它的和．

现在你可能很想知道，这些信息将怎样帮助我们确定前面所讲的三角形周长的和．首先让我们依次列出这些三角形的每一个的周长：

30,15, 15 , 15 , 15 , 15 , 15 , 15 , 15 ,Λ ①

2 4 8 16 32 64 128

将这一数列的和，即所要确定的三角形周长的和

30 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 +Λ

2 4 8 16 32 64 128

化简得：

45 + 15( 1 1 1 1 + 1

+ 1 +

1 +Λ )

2 + 4 + 8 + 16

32 64

128

现在用 1 替代括号内数列和的值得：

45＋15×1＝45＋15=60，

此即所求的周长和．

确定前面那些三角形的面积和则是另一种挑战．你能对这一新的无穷数列的和作一番探索吗？

① 原注：这些值的确定用到了一个几何定理：连接三角形两边中点的线段等于第三边（对边）长度的一半．