在小的地方寻找无穷

你能想象什么是无穷吗？

无穷是一个永远没有终结的数量．无穷的概念是难于掌握的．

我们很容易掌握数 7，因为它能描述 7 个苹果；我们也容易掌握十亿（写为 1000 000 000），因为它能描述一罐沙粒的数．但无穷的数量是没有穷尽的．有一种非常精确的方法可以使人感觉到无穷：取一面镜子放在另一个大一点镜子的前面，那么会发生什么事呢？你能看到一面镜子里有一面镜子， 里面又有一面镜子，又有一面镜子，⋯⋯永无终结．

有人可能会想，一个无穷的数量必然会占据很大的空间．这也未必，比如在一个小小的线段 AB 上，A 到 B 之间就有无穷数量的点．

今证如下：

我们应用这样的概念，即任意两点之间必能找到另一个点．于是，如果点 A 和点 B 位于一条线段上，那么它们之间必能找到点 C．而在 A 和 C 之间又能找到另外的点，同样在 C 和 B 之间也能找到另外的点．这种在任意两点之间找另外点的过程可以永远继续下去，这样在线段 AB 上便有无穷数量的点．

另一种描述无穷数量的方法是用类似于“跳蚤的故事”所用的方法． 一只叫“一半”的跳蚤想跳过房间．他的朋友告诉他，他不可能到达另

1另外一边，如果他每次跤时都留下距离的 的话，“一半”说他对到达房

2

1间的另一边并不发愁．第一次跳“一半”便跳了全程的 ，剩下的也只

2

1 1

有 2 的路．接着第二次跳，“一半”又跳过剩下路程的 2 ，如此一直 继续

下去．尽管他已非常接近房间的另一边，但他仍须遵循以下的规律：即每一

1 1

次跳跃只能跳留下距离的 2 ．“一半”终于无法跳完那总是剩下的 2 的路，

于是他只能永不休止地跳下去．

然而，虽说无穷是一个永无终结的数量，它不可能等同于一个数，但我们发现，它既适于一个非常小的空间，也适于一个非常大的空间．