数学

沈括的数学成就在数学史上占有重要的地位。日本著名的数学史家三上

义夫称之为“中国算学之模范的人物或理想的人物”①。

累棋、层坛及酒家积罂之类的隙积问题，即垛积问题，实质上是一种高阶等差级数求和问题。设堆垛体的上、下宽分别为 a 和 c 个物体，上、下长分别为 b 和 d 个物体，高共有 n 层，则依《梦溪笔谈》原文所述，堆垛体的

π

总和 S= 6 ［（2b+d）a+（2d+b）c+c-a］，这一公式是完全正确的。沈括的

隙积术是《九章算术》中“刍童术”的发展，并构成了其后二三百年间关于垛积问题研究的开端。其后南宋的杨辉和元代朱世杰等在此基础上，创立垛积术，解决了许多更一般的高阶等差级数求和问题。

沈括的另一项数学成就，是创立了会圆术。会圆术是在丈量田亩中提出来的。沈括说：“凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。”②这是关于已知弓形的圆径、矢高，求弓形的弦长和弧长的方法。沈括是中国第一个对弧、弦、矢之间关系加以考虑的科学家，他给出了下列近似公式：

2b²

l = c + d ，c = 2 ，

其中 l 为弧长，d 为直径，r 为半径，b 为矢高，c 为弦长。会圆术也是后来天文计算中常用的重要公式。