第五节 会圆术

沈括在数学上的又一重要贡献是创立“会圆术”③，给出了中国数学史上最早的由弦和矢的长度来求弧长的近似公式。如图 3，设圆的直径为 d，BE 弦长为 c，DK 矢长为 v，BDE 弧长为 s，则沈括的结果相当于得到了公式

2v²

S≈c＋ d .

这是一个近似公式，但在一定范围内使用还是比较简便的。他同时还得出一个由矢长和半径求弦长的公式。虽然沈括并没有说明他的证明方法，但这两个公式很容易从《九章算术》弧田术及勾股定理推导出来。会圆术的重要意义还在于它在中国数学史上最早提出了关于弧、弦、矢之间的关系问题，此后一些数学家继续对这一新课题进行研究并取得了不少新成果。如元代郭守敬、王恂等人在《授时历》中反复应用沈括的会圆术，并根据相似三角形各线段间的比例关系，在推算“赤道积度”（太阳赤经余弧）和“赤道内外度”

（太阳赤纬）方面创立了一种新的方法。就数学意义而言，这种新算法相当于球面三角学中求解球面直角三角形的方法。