二、新授

1. 由计算（a＋b）（a²-ab＋b²）与（a-b）（a²＋ab＋b²）引入新课。 启发提问：对于这两个算式，能否运用学过的公式进行计算呢？（不能）

那么用什么方法进行计算呢？（多项式乘以多项式的法则） 请两学生板演计算过程，其他同学在练习本上计算。 学生板演格式：

（a＋b）（a²-ab＋b²）

＝a³＋a²b-a²b-ab²+ab²+b³

＝a³+b³

（a-b）（a²＋ab＋b²）

＝a³-a²b＋a²b-ab²＋ab²-b³

＝a³-b³

根据学生的板演，启发提问：

1. 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点？

（都是两个因式相乘，一个二项式，一个二次三项式，结果都是二项式， 而且是立方的形式。）

1. 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项？（6

   项）为什么这里的结果只有 2 项？（同类项合并）

2. 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同？〈乘积项不一样。完全平方公式的乘积项有一个

   2 倍，这里仅相乘。〉

3. 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系？（左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积。）

4. 比较这两个等式的异同。

（两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同。）

根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给这两个公式起个名字。点出课题并板书“立方和与立方差公式”。

让学生看书 P50，并让学生用语言叙述公式。

1. 给出三道计算题，其中题（1）和题（2）能运用公式进行计算，题（3）

   不能运用公式进行计算。

处理方法：第（1）道题由师生共同解答，教师板演； 第（2）（3）两题由学生板演。

对于第（3）道题，根据学生板演情况，教师正确引导：①如果学生根据多项式乘法法则进行计算，那么教者给予肯定，并指出解题时一定要仔细观察算式是否符合公式特点。若不符合公式特点，则可用多项式乘法法则进行计算。

②如果板演学生直接用公式进行计算了，那么请全体同学一起研究其错误的原因，并指出该题不能运用公式进行计算的道理。

③如果板演学生犹豫不决时，教者适当进行引导，通过同学们互相帮助， 使其顺利地完成计算。

计算完成后，教者针对第（3）小题提出一个让学生思考的间题：我们能不能对题目作些小的改动，使其变成一道新的能够运用公式进行计算的题呢？

例 1 计算

（1）（3+2y）（9-6y＋4y²）；

（2）（

1 2 ）（

2 1 4

5 2 ）

5a - 2 b 25a + 4 b + 2 ab

（3）（2x+1）（4x²＋2x＋1）

板演计算格式：（3＋2y）（9-6y＋4y²）

（a＋b）（a²-ab＋b²）

（1）解：原式=3³＋（2y）³

＝27＋8y³；

（2）解：原式 = （5a） ³

1 2 3

- ( 2 b )

= 125a ³ − 1 b⁶；

8

（3）解：原式=8x³＋4x²＋4x²＋2x＋2x+1

=8x³+8x²＋4x+1

（改题方法：①第二个因式中“＋2x”改成“-2x”；

②第一个因式中“+1”改成“-1”；

③第二个因式中“+2x”改成“+4x”送用完全平方公式，然后再用完全立方公式）

1. 由学生自编题目，要求能运用立方和与立方差公式进行计算，要求编得新颖巧妙、与众不同。想好的同学到黑板上写出来。

（估计大多数学生能够模仿例题，变换一些数字、字母和负号编出一些题目来。如果学生已经编出具有三个因式相乘、二次运用公式计算的题目， 那么下面例 2 中的第（1）题就不必再作例题，而把学生编的题作为例题，然

后直接用第（2）题作例 2 中的第（1）题。） 针对学生编出的题目，师生共同检查。 4.例 2 计算：

（1）（x³-1）（x⁶+x³+1）（x⁹+1）；

（2）（x＋1）（x-1）（x²＋x+1）（x²-x+1）；

（3）（x+2y）² （x²-2xy＋4y²）²。

先由学生观察、讨论解题的方法，然后由教者根据学生的回答板书，并要求说出运算中每一步的依据。

解：（1）原式=（x⁹-1）（x⁹+1）

=x¹⁸-1；

（2）原式=（x＋1）（x-1）〔（x²+1）+x〕（x²+1）-x〕

＝（x²-1） 〔（x²+1）²-x²〕

=（x²-1）（x⁴+x²+1）

=x⁶-1；

或原式=〔（x+1）（x²-x+1）〕〔（x-1）（x²+x+1）〕

（交换律、结合律）

=（x³+1）（x³-1）

（立方和与立方差公式）

＝x⁶-1；

（平方差公式）

（3）原式=〔（x+2y）（x²-2xy+4y²）〕² 指数运算律（二）

=（x³＋8y³）²

（立方和公式）

=x⁸＋16x³y³+64y⁶

（完全平方公式）

1. 小结：

1. 立方和与立方差公式的推导，是由同学们自己完成的，必须掌握；

2. 立方和与立方差公式的特征要牢牢记住，解题时，一定要仔细观察有关因式的特征，不可粗心大意。

1. 作业：

（1）看书 P59—P52；

（2）P57，21（1）—（3）

1. 练习册 P49，1、2、3、4、5、6、7。

说明：该班采用的教本，系由国家教委《中学数学实验教材》实验研究组编写的《中学数学实验教材》的普及本。

（孙伟倩） 评：孙伟倩老师这堂课上得很好，学生的主体作用发挥得很好，达到了

教学目的。

为什么在数学教学中要发挥学生的主体作用？这是由数学教学的特点决定的。在数学教学中，学生学习的知识大多是前人总结的间接知识，并且在学习过程中，学生不断地发展他的认识能力，增强他们的才干。这样，不管是学习知识，还是增强才干，都要学生亲自去实践、去体会，通过学生的动脑、动手，把对学生来说是未知的知识转变为已知的知识，并在这个转变的过程中提高认识能力。所以学生的学习过程是一个再发现、再创造的过程， 这个过程只能由学生自己来完成，别人是无法取代的，而且没有学生主动、积极地活动，这个过程也是无法完成的。

由于教学过程要用最少的时间达到最大的认知效益，所以学生的这种再

发现、再创造的过程，就不能自发地重复前人走过的漫长的道路，要讲经济、讲效益，这就是教师的主导作用是少不了的。由此我们得出几点看法：

1. 学生的学习是个再创造、再发现的过程，必须要主体积极参与才能实现这个过程。

2. 不是只要学生活动就是主体作用，其真正的主体作用，是花最少的时间达到最大的认知效益。

3. 教师的主导作用就在于发挥学生的主体作用去达到教学目的。我认为这三点孙老师都做得很好。

首先，这节课的主题——立方和与立方差公式及其特点，都是由学生发现的，自己得出结论的，而运用公式改题、编题，给学生的思维的自由创造提供了条件。

其次，学生的活动不是停留在一种简单的、机械的操作活动上，而是立足于复杂的思维活动上。就以改题、编题来说，它要比单纯的套公式所付出的思维劳动更多些。后者的对象是在主体的眼前的，只要把对象与公式逐项比较就可完成，它可以说是看得见、摸得着的。而前者，思维对象不在主体眼前，要主体根据公式特点，自己去寻找对象，发散性大，给学生创造的自由度大。同时，在这过程中，一方面学生要动用他全部的知识经验；另一方面，在这过程中，要运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等。

在当前的数学教学中，对处理教学有两种路子。一种是以量取胜。象这节公式教学的课，也可以这样处理，简单导出公式、讲清公式特点以后，接着第一套练习题，第二套练习题，第三套练习题压上来。另一种外理方法， 就象今天课这样，以质取胜，题量不多，但较注意质量，比较注意接触一些深层的东西。后者指导思想明确，始终贯彻公式特点，字母特点，以及按判断、变形、构造三个层次递进，避免过多的重复性、机械性的操作，学生在思想上得益较多，而前者只有做了大量题后才能悟出一些道理（有时甚至还悟不出来）。重复的多、机械的多、表层的多。尽管有时题目很难、很繁， 但仍然没有触及到思维深层的东西。

总之，这节课认知效益是高的。

第三，本节课教师的主导作用，至少体现在下面三个方面：①规划、设计这堂课，使这堂课围绕教学目的，沿着学生思维发展的方向前进；②设置问题情境，使学生始终处于一种愤悱状态；③因势利导。教师随着学生的思路，及时地加以引导，而不是把学生的思路、想法，主导立足于学生，立足于发挥学生的主体作用。

由上面的三点，说明孙老师发挥学生主体作用的教学思想很明确，所以取得了预期的效果。

在数学教学中，发挥学生的主体作用是有条件的。这些条件是：

1. 为学新的知识，旧知识的准备状态如何？作为本节课的旧知识是：掌握了多项式的乘法以及平方差公式，两数和（或差）的平方公式；会用语言叙述这些公式；知道公式中的字母可表示数、单项式、多项式；知道从字母、指数、符号、系数几个方面去掌握公式的特点；会判断两个多项式相乘能不能直接用公式，如不能直接用，能否适当（恒等）变形使之能适用公式。这里以前学过的公式本身，不能直接用到本节课上，本节课主要用到研究乘法公式的经验。如由多项式乘法得出公式；从四个方面研究公式的特点；字母

所代表的意义；如何运用公式等。这些对学生来说，都是已经具备的，关键在于教师是不是意识到这种“经验的迁移”，并充分唤起学生的注意。

1. 能否激发学生学习的心向？既然学习过程是学生的再发现与再创造的过程，只有主体积极参与才能实现。所以学生愿意学、想学是个非常重要的问题，否则发挥主体作用也只是一句空话。为此，激疑、设疑，使学生在思维上产生矛盾，是个非常重要的教学策略问题。

2. 教师能否恰当地设置问题情境。也就是要设置一种浓厚的学习数学的气氛、环境，使学生处在一种愤悱状态，即处在一种想做又不知怎么做，想说又不知怎么说的状态。象本节课运用公式的三个层次：判断、改题、编题， 就是三种不同的情境，而且一步步深入。

3. 是否让学生意识到自己的进步与不足。学生自己意识到进步，就会产生一种愉悦的情绪，并产生进一步学习的愿望。对于学习有困难的学生，要具体分析，有的知识基础差，有的可能某种心理品质差，教师要针对不同情况不同处理，以积极因素克服消极因素，这样全班就会处在一种和谐发展的状态。

由此可见，在数学教学中发挥学生的主体作用是有要求和条件的，而不只是只要学生活动就是主体作用。从孙老师这堂课看，这些方面都做得很好， 从而保证了教学目的的达到。

要说这堂课的缺点，就是不要把变形与改题混为一谈。有的题表面看来， 不能直接用公式，但作适当变形后（这种变形是恒等变形）才能用公式。改题是把题目改掉了，改成能运用公式，而改题不是恒等变形。如果这个问题不交待清楚，就可能会留下后患，以后把不能用公式，只能用多项式乘法求解的题，也去改题，这样就不是题目本身的要求了。尽管孙老师注意到了这个问题，在课堂上也指出了这两者的区别，但由于没有结合当时的具体题目情境，这种说明就显得苍白无力，学生不会留下深刻印象的。

尽管有上述的缺点，但这节课仍不失为一堂好课。

（曹才翰）