（一）根式的乘法

提出问题。

学校决定在每一间教室前面的长方形空地上都种植草皮。按国家教委和国家基建委规定的标准，中学每间教室的使用面积为 54 平方米。假定教室是

正方形的，那么教室的每边长则为

54米，也就是说长方形空地长为

54米。

如果空地的宽为 6米，问铺满一块长方形空地，需要购买多少平方米的草皮？

（注：前一章已经学习了无理数，后一章将学习二次根式。因此以

作为边长进行计算既能起到承上起下的作用，又能联系生活实际）

54和

因为长方形的面积等于长×宽，所以草坪的面积为 54× 6。

我们查表计算

54和

6的值，然后再相乘，虽然可以得到草场的面积，

但是计算繁琐，又不能得到准确值。如果手边没有数学用表和计算器，就无法进行计算。因此，必须另想其他计算办法。要想不查表又能算出草坪面积的准确值，就必须研究二次根式 54 和 6 的乘法法则。

分析问题。

有意义的式子才能进行运算，所以在研究二次根式的运算之前先

得研究，当a为何实数时二次根式 a与 a − 3有意义。

我们知道，在实数范围内，负数没有平方根，要使上式有意义，被开方数只能是正数或 0，也就是说被开方数是非负数的。故得：

性质1：非负数的算术平方根是非负数。即当a≥0时，

a - 3≥0。

a≥0；当a≥3时，

6与有理数6的差别就在于多一个根号，如果能找到一种打开根

号的运算，那么就有可能借助于有理数的运算法则来进行二次根式的运算。

因为 6是表示平方等于6的正数，把这句话用式子表示为（ 6）² = 6。

可见我们可以用平方的办法去掉括号。

一般地，

（a≥0）。

a（a≥0）表示一个平方等于 a的非负数，即（

a）² ＝a，

由上式得：

性质 2：一个非负数平方根的平方等于它的本身。

在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数，因而平方和开方都互为逆运算。

由性质2得（ 54×6） ² = 54×6，①

由乘方法则得（

54×

6）² = （

54）² ×（

6）² = 54×6。（2）

由①、②得（

54×6）² = （

54×

6）²

∵ 54×6＞0，

54×

6＞0.

∴ 54×6＝ 54× 6.

一般地有 a· = a·b，（a≥0，b≥0）

由上式得：

解决问题。乘法法则：

算术平方根的积，等于各个被开方数积的算术平方根。由乘法法则得：

54× = = = 18.

答：购买 18 平方米的草苗恰好能铺满一块空地。

全校各间教室前面的空地都种上草皮，就使得往日尘土飞扬的黄土地换上绿色的新装，那无数支嫩绿和新芽，不断地吐出氧气，让同学们在美丽的校园里，呼吸着新鲜的空气更加精力充沛地为祖国而学习。

注：当问题解决之后，同学们都沉浸在成功的喜悦之中，此时此刻，教师借题发挥作简短有力的议论，既能体现数学的美，激发学生的学习积极性，又能给学生以生动的思想教育。

并入知识系统。

只要把性质 3 中的“算术平方根”五个字换成“平方”二个字，便是乘方法则；同时，把二次根式乘法法则中的“算术平方根”换成“平方”，把“被开方数”换成“底数”，就是乘方法则的逆用。可见二次根式的性质和乘法法则都可以纳入乘方的知识系统。

变式训练。

通过正反面典型实例来加深巩固二次根式的概念和运算法则的理解和掌握。

例1 化简 =

= 10² ×

2² ×

= 20

注：利用性质 3 化简根式时，应把被开方数中能开得尽方的因式（或因数）都开出来。

例2 化简 = x² ·

注：因为性质 3 只适用于被开方数是乘积的情形，不适用于加减的情形。

必须注意原式≠

例3 计算3 5×2

= (3×2)×( 5×

10) = 6×5

= 30

注：这里实际上是将有理数乘法的交换律和结合律推广到实数范围。因而二次根式相乘时可以在根号外把因式相乘，同时在根号内把被开方数相乘，二次根式不变。