三、讲解新课

x² + 2xy + y² = 1 ①

例1 解方程组： 2 2

x + 4y = 8 ②

分析：

1. 我们看到这是两个二元二次方程组成的方程组，而我们已经会用代入法解一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组，那么，我们提出这样的设想，能不能将上述方程组作一个转化，使之成为我们会解的形式呢？

2. 转化的关键当然是如何把二次降次为一次或者把两个未知数减少为一个未知数。

3. 认真观察方程①的特点，其左边是完全平方式，若将右边的 1 移到左边就可以将方程①变形为左边是两个一次因式乘积的形式而右边是零，通过分解可以把它化为两个二元一次方程 x＋y+1=0 和 x＋y-1=0，分别与

x + y + 1 = 0， x + y - 1 = 0，

方程②组成方程组x2 + 4y2 = 8； 和x2 + 4y2 = 8； 解这两个方程组就可求

 

得原方程组的解。

解：由①得 x＋y+1=0，x＋y-1=0.

∴原方程组化为：

x + y + 1 = 0，

x² + 4y² = 8；

x + y − 1 = 0，

x ² + 4y² = 8；

分别解这两个方程组得原方程组的解为：

x1 = −2，

 2

 2 5

 = 1；



 = − 7 ；

 ² 5

x3 = 2，



x4

= − 2 ，

5

 = −1；@



 = ．

 ⁴ 5

 x ² + y ² = 20 ①

例2 解方程组 2 2

x - 5xy + 6y = 0 ②

分析：观察这个方程组中方程②的右边为零，左边又可以分解为两个一次因式的乘积：（x-2x）（x-3y）.因此方程②可化为两个二元一次方程，它们与方程①分别组成方程组

x² + y² = 20， x² + y² = 20，

x − 2y = 0； x − 3y = 0．

解这两个方程组，就得到原方程组的所有的解，求解过程由同学们自己完成。

从以上两个例题的学习中同学们可以总结点什么体会吗？

1. 由两个二元二次方程组成的方程组在一定的条件下可以转化为一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组。

2. 转化的条件是方程组中有一个方程可通过因式分解将二元二次方程降次为两个二元一次方程。

例 3 解方程组

x² + 2xy + y² = 4 ①

（x - y）² - 3（x - y） + 2 = 0 ②

分析：观察方程组中是否存在可化为两个二元一次方程的方程。经过例1、例 2 的学习不难发现，这个方程组不仅有方程可以分解，而且两个方程都可以分解为两个二元一次方程，那么，它可以转化为几个新的方程组？

先把方程①分解为两个二元一次方程与方程②组成两个方程组：

x + y = -2

（x - y）² - 3（x - y）＋2 = 0；

x＋y＝2，

（x - y）² - 3（x - y） + 2 = 0；

由于方程②也可以分解，故上面的方程又可以分别化为下面四个方程组：

x + y = −2，

x − y = 2；

x + y = 2，

x − y = 2；

x + y = −2，

x − y = 1；

x + y = 2，

x − y = 1．

解这四个方程组，就可得到原方程组的解。解由①得（x+y）²=4.

∴x＋y=-2 或 x+y=2.

由②得 x-y-2=0，x-y-1=0，

因此，原方程组可化为四个方程组：

x + y = −2，

x − y = 2；

x + y = 2，

x − y = 2；

x + y = −2，

x − y = 1；

x + y = 2，

x − y = 1．

解这四个方程组，得原方程组的解为：

x1 = 0，

 = − 1

 ² 2

x2 = 2，

 = 3

 ⁴ 2

y = −2； 

3 y

= 0；  1

 1 y

 2

= − 2 ； 

 =

 ⁴ 2

．

x＋y = -2 ，

注意：在解例3时应注意不能只得到两个方程组，如x - y = 2；

 x＋y = 2，

x − y = 1； 也不能把同一个方程得到的两个二元一次方程组成一组，

把四个二元一次方程构成新方程组的方法是： x＋y=-2 x＋y=2

x+y=2 x-y=-1