不要只给学生创设忧解的情境，还要学生了解问题解答的“难处”

例如对下列几何题的教学，可作如下教学设计：

题目如图 9，GE 与 HF 将矩形 ABCD 分成三个边长都是 a 的正方形，求证

△AEF∽△CEA。（初中《几何》第二册 P67）

  1. 一个简捷的证明

只要同学们有一定的观察能力，能找出△AEF 与△CEA 的对应边与对应角，就很容易想到先求出夹公共角两边的长度。用“对应角成比例且夹角相等”的定理来证明。

证明 由AE = AB2 + BE2 ＝2a。

EC = =

AE

 EC

EA 

 ⇒ = 

⇒ EA = 2a = 2 

AE EF 

EF a  

∠AEF = ∠CEA 

⇒ △AEF∽△CEA 

  1. 避免谬误的证法有同学给出这样证明：

AC = AB2 + BC2 ＝10a，

AF＝ AE =

AC = CE =

= 5a，

= 2a，

AF AE 

∠AEF = ∠CEA

⇒ △AEF∽△CEA。

这个证法的错误在哪里？与上面的证法比较，错就错在相等的角不是两组成比例的对应边夹角。

如果一定要用此法证，有什么方法来补救吗？有的，加上一个说明：“∠ AEF 与∠CEA 相等且都为钝角”就行了。也就是说：如果两个三角形都是钝角三角形或者都是锐角三角形，相等的角不一定是夹角，两个三角形也相似。

  1. 其它一些好的证法

如果要证明（除公共角外）第二组角相等，还是有办法的。就是考虑图中线段之间的长度关系，用正弦定理或余弦定理证另一组角相等。若用正弦定理：

△AEF中，AE＝

2a，AF＝

5a，由

AE

sin∠EFA

= AF ，得

sin∠AEF

sin∠EFA＝ AE sin∠AEF

AF

10

＝ 5 sin∠AEF 。

在△CEA中，AC = 10a，CE = 2a，又

CE

sin∠EAC

10

= AC

sin∠AEF

= 5 sin∠AEF

∵∠EAF 与＜ECA 都是锐角，

∵∠EAF=∠ECA。

  1. 小结

要完成此题的证明。无论用哪种证法，都必须用到三个边长为 a 的正方形组合成矩形图形这一特点，都必须运用图形中一些线段的长度求出相应的另一些线段的长度。否则要想证明此题是不可能的。

还有一些方法如数形结合，设未知为已知，一题多解，一题多变等，都是老师们常用的情境设计技巧。

以上所述各种情境设计方法，都是从某一个角度提出来的。其实它们之间互相联系，都遵循着教育学与心理学的基本原理。提法不妥之处敬请老师指正。