三、新课教学

例 1 已知关于 x 的方程 2x²-（4k＋1）x＋2k²-1=0.k 取什么值时？

1. 方程有两个不相等的实数根；

2. 方程有两个相等的实数根；

3. 方程没有实数根。

分析：启发学生思考（1）解决这三个问题都需要计算谁？（2）若方程有两个不相等的实数根，则△怎么样？另外两问呢？也就是说首先计算△， 继而解△＞0，△＜0，求出 k 值。（请同学解，老师板书）

解：△=b²-4ac=［-（4k＋1）］²-4×2（2k²-1）=8k＋9.

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1. 当 8k＋9＞0， k＞ − 8 时，方程有两个不相等的实数根。

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1. 当 8k＋9 = 0，k = - 8 时，方程有两个相等的实数根。

2. 当8k＋9＜0，k＜ - 9 时，方程没有实数根。

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• 假设二次项系数不是 2，而是 k，还需要考虑什么呢？如何作答？ 例 2 求证方程（m²＋1）x²-2mx＋（m²＋4）=0 没有实数根。

分析：启发学生思考（1）谁决定方程有没有根？（2）若证明方程没有实数根，只要证明根的判别式△怎么样就行了？（3）怎样来证明△永远小于零呢？让我们一同解题寻找方法。

证明：△=b²-4ac

=（-2m）²-4（m²+1）（m²+4）

=4m²-4m⁴-20m²-16

＝-4m⁴-16m²-16

＝-4（m⁴＋4m²＋4）

=-4（m²+2）²

∵不论 m 为任何实数，（m²＋2）2＞0.

∴-4（m²＋2）2＜0，即△＜0

∴ （m²＋1） x²-2mx＋（m²＋4）=0 没有实数根。由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：

1. 计算△；

2. 用配方法将△恒等变形；

3. 判断△的符号；

4. 结论。

其中的难点是△的恒等变形，一般情况下配方后变形为 a²，a²+2，（a²+2）

²，-a²，-（a²＋2）²，-（a＋2）² 从而判定正、负、非负等情况。