二、动力学的两类基本问题

关于力和运动的关系，有两类基本问题需要处理：

第一类是已知物体的受力情况，要求确定物体的运动情况。根据牛顿第二定律，已知物体的受力情况可以求出物体的加速度，再知道物体的初始条件（初位置和初速度），根据运动学公式就可以求出物体在任意时刻的位置和速度，也就是确定了物体的运动情况。

第二类是已知物体的运动情况，要求推断或者求出物体所受的未知力。已知物体的运动情况，由运动学公式可以求出加速度，再根据牛顿第二定律就可以确定物体所受的合外力，从而求出未知的力。

求解这两类问题的思路，可用下面的框图来表示。

二、动力学的两类基本问题 - 图1

解决动力学问题，首先要确定研究对象，把研究对象的受力情况和运动情况弄清楚，而不应急于找公式进行计算。先作必要的定性分析和半定量分析，如分析物体受几个力，哪个力大和哪个力小，物体做什么运动， 运动速度是增大还是减小等，弄清所给问题的物理情景，然后再着手定量计算。

【例题 1】一只装有工件的木箱，原来是静止的，质量 m=40 千克，现以 200 牛的斜向右下方的力 F 推木箱，F 的方向与水平面成? ＝30°角， 使木箱沿水平地面运动。木箱与地面间的动摩擦因数μ=0.30，求木箱在

  1. 秒末的速度和 0.5 秒内发生的位移。

分析和解答 这是已知受力情况求运动情况的问题。

研究对象显然是木箱。木箱受四个力作用：重力 G=mg，支持力 N，推力 F，滑动摩擦力 f（图 7－5）。

在这几个力的作用下，木箱沿水平地面运动。欲求速度和位移，需先求加速度 a。木箱在垂直于地面的方向上，运动状态没有改变，即没有加速度。我们可以分别在水平和竖直两个方向上应用牛顿第二定律求解。

把力沿水平和竖直两个方向分解，力 F 在水平方向的分力 F1=Fcos? ，

在竖直方向的分力 F2=Fsin? 。设木箱在水平方向的加速度为 a，取水平向右的 x 方向为正方向，水平方向的合外力为 Fx=F1-f=Fcos? -f，根据牛顿第二定律有

Fx=Fcos? -f=ma， （1）

其中 f=? N。 （2）

在竖直方向加速度为零，根据牛顿第二定律可知，在竖直方向的合外力 Fy=0。取竖直向上的 y 方向为正方向，则有

N-G-F2＝N-mg-Fsin? ＝0. （3） 由以上三式可求得加速度 a

Fcosθ - f

a = m

Fcosθ - μN

= m

Fcosθ − μ (Fsin θ + mg)

= m

由（1）式得由（2）式得

由（3）式得

代入已知数值得 a=0.64 米/秒 2。

木箱的初速度为零，0.5 秒末的速度为

? 1=at=0.32 米/秒。木箱经 0.5 秒发生的位移为

1 2

s = 2 at = 0.08米。

a 和? t 都是正值，表示它们的方向都是水平向右的。s 为正值，表示木箱水平向有加速移动。

【例题 2】一个滑雪的人以? 0=1.0 米/秒的初速度沿山坡滑下，山坡

的倾角是 30°，5 秒内滑下的路程为 62 米。求滑雪板和雪地间的动摩擦因数μ。

分析和解答 我们知道，滑动摩擦力 f＝μN，其中 N 等于滑雪板跟山坡之间的垂直作用力。如果能求得 f 和 N，即可求出动摩擦因数μ。因此，本题是已知运动情况求力的问题。

研究对象显然是滑雪者，滑雪者受到三个力的作用：重力 G=mg，山坡的支持力 N，滑动摩擦力 f（图 7－6）。在这三个力的作用下，滑雪者沿山坡滑下。设滑雪者沿山坡运动的加速度为 a，取与山坡平行向下的 x

方向为正方向，由公式s＝υ

1

0t + 2 at

2可求得这个加速度

a = 2 (s − υ 0 t) ， （ 1 ）

t 2

已知 s=62 米，? 0=1.0 米/秒（注意：这两个量都取正值），代入上式得 a＝4.56 米/秒 2。

现分别在沿山坡和垂直于山坡这两个方向上应用牛顿第二定律求解。将重力 G 沿这两个方向分解：重力沿山坡方向的分力 F1＝mgsin? ，垂直

于山坡方向的分力 F2 ＝ mgcos? 。沿山坡方向的合外力 Fx=F1-f = mgsin? -f，根据牛顿第二定律有

Fx＝mgsin? -f＝ma． （2）

在垂直于山坡的方向，滑雪者的加速度为零，根据牛顿第二定律可知在此方向的合外力 Fy=0。取垂直于山坡向上的 y 方向为正方向，则有

N-F2＝N-mgcos? ＝0． （3）

由（2）式可求得 f＝mgsin? -ma，由（3）式可求得 N=mgcos? ．因此， 动摩擦因数

μ＝ f ＝ mg sinθ − ma

g sinθ − a

= .

N mgcosθ g cosθ

代入 a、g 和? 的数值得? ＝0.04。

根据牛顿定律从物体的受力情况确定运动情况，在实际中有重要作用。例如，指挥宇宙飞船飞行的科学工作者，他们知道飞船的受力情况， 也知道飞船的初速度和初位置，因而，他们能够确定飞船在任意时刻的位置和速度。他们解决问题的思路跟我们这里讲的是一样的，只是计算相当复杂，要用电子计算机进行。

在一些实际问题中，常常需要根据牛顿运动定律从物体的运动情况来确定力。例如，知道了列车的运动情况，根据牛顿运动定律就可以确定机车对列车的牵引力。又如，根据天文观测知道了月球的运动情况，就可以知道地球对月球的引力的情况，牛顿当初就探讨过这个问题，并进而发现了万有引力定律。

在动力学问题中，如果知道物体的受力情况和加速度，也可以测出物体的质量，就是说，质量可以用动力学的方法来测定。下面是用动力学的方法测定质量的一个有趣的题目，希望同学们好好研究一下。

1966 年曾在地球的上空完成了以牛顿第二定律为基础的测定质量的实验。实验时，用双子星号宇宙飞船 m1 去接触正在轨道上运行的火箭组m2，接触以后，开动飞船尾部的推进器，使飞船和火箭组共同加速（图 7

－7）。推进器的平均推力 F 等于 895 牛，推进器开动 7.0 秒，测出飞船和火箭组的速度改变是 0.91 米/秒。已知双子星号宇宙飞船的质量 m1＝3400 千克。求火箭组的质量 m2 是多大。

■

推进器的推力使宇宙飞船和火箭组产生的加速度

a = 0.91米 / 秒 ＝0.13米 / 秒2 .

7.0秒

根据牛顿第二定律 F=ma=（m1+m2）a 得

m = F - m = 895 千克- 3400千克 = 3500千克．

2 a 1 0.13

实际上，火箭组的质量已经被独立地测出。实验的目的是要发展一种技术，找出轨道中另一个国家的人造卫星的未知质量。事先已测出火箭组的质量为 3660 千克，因而实验误差在 5％以内——正好在预期的误差范围之内。

应用牛顿第二定律和运动学公式解题时，先要确定作为研究对象的物体，分析它的受力情况和运动情况，把题中所给的物理情景弄清楚，再应用牛顿第二定律和运动学公式列出方程，求解未知量。这里，正确分析物体受力情况和运动情况是解题的关键。